Question

Решить тригонометрические уравнения : ) а) 6 cos^2+7sinx-8=0 б)2 sin^2+sinx*cosx-cosx^2=0

Answer 1

а)Здесь заменим cos²x, на 1 - sin²x по основному тригонометрическому тождлеству. Получаем:

6(1 - sin²x) + 7sin x - 8 = 0

6 - 6sin²x + 7sin x - 8 = 0

-6sin²x + 7sin x - 2 = 0

Пусть sin x = t, причём |t| ≤ 1, тогда

-6t² + 7t - 2 = 0

6t² - 7t + 2 = 0

D = 49  - 48 = 1

t1 = (7 - 1) / 12 = 6/12 = 1/2

t2 = (7 + 1) / 12 = 8/12 = 2/3

Приходим к совокупности двух уравнений:

sin x = 1/2                                   или                                         sin x = 2/3

x = (-1)^k * π/6 + πn ,n∈Z                                                        x = (-1)^k arcsin 2/3 + πk, k∈Z

2)Данное уравнение является однородным второй степени. Будем решать его специальным образом. Разделим всё уравнение на cos²x, но сначала обоснуем, почему мы имеем правда делить на него.

Если бы cos² x был равен 0, то тогда при подставновке в уравнение получили бы соответственно

2sin²x + 0 - 0 = 0, то есть sin²x равен 0. Но этого не может быть, так как противоречит основному тригонометрическому тожелдству. Получили противоречие, следовательно, мы можем делить на cos²x. Теперь сделаем это:

2tg²x + tg x - 1 = 0

 Введём замену. Пусть tg x = t, тогда

 2t² + t - 1 = 0

D = 1 + 8 = 9

t1 = (-1 - 3) / 4 = -4/4 = -1

t2 = (-1 + 3) / 4 = 2/4 = 1/2

Приходим к совокупности уравнений:

tg x = -1                                     или                                  tg x = 1/2

x = -π/4 + πn, n∈Z                                                            x = arctg 1/2 + πk, k∈Z

Это и есть корни данного уравнения.