S = 1/2 * a*b , где a и b - катеты прямоуг. треугольника, тогда
1/2 * a*b = 54
a*b = 108
C другой стороны по теореме Пифагора:
a²+b²=15²
a²+b²=225
таким образом, будем рассматривать систему из 2-ух уравнений:
a*b = 108
a²+b²=225
Из первого уравннеия: a = 108/b
подставляем во второе:
(108/b)²+b² = 225
11664/b² + b² = 225, b≠0, а т.к. дело имее с длинами, то они не могут быть еще и отрицательными, т.е. b>0.
Домножим на b² убе части уравнения:
11664+b⁴-225b²=0
Введем замену: b² = t, получим:
t²-225t+11664=0
D = 50625-46656=3969
t1 = (225-63)/2 =81
t2 = (225+63)/2 =144
делаем обратную замену:
b² = 81
b = ± 9 - ,берем только b=9, т.к. b>0
b² = 144
b = ± 12 - ,берем только b=12, т.к. b>0
Если b = 9, то a = 108/9 = 12
Если b = 12, то a = 108/12 = 9
ответ: катеты равны 9 и 12 или 12 и 9 см.
По теореме косинусов
5*5 +16*16 - 2* 5* 16 *cos(-120) =281+80= 361
Значит сторона равна 19