Question

Докажите, что при любых значениях x: а) квадратный трехчлен "x^{2}-14x+50" принимает лишь положительные значения. б) квадратный трехчлен "-x^{2}+6x-11 принимает лишь отрицательные значения.

Answer 1

Если дискриминант D квадр. трёхчлена  ах²+вх+с меньше 0 при a>0, то 
квадр. трёхчлен принимаеттолько полож. значения. А если D<0, a<0 , то 
квадр. трёхчлен принимает отрицательные значения.

$a)\; \; x^2-14x+50=0\\\\D=14^2-4\cdot 50=-4\ \textless \ 0\; ,\; \; a=1\ \textgreater \ 0\; \to \\\\x^2-14x+50\ \textgreater \ 0\\\\b)\; \; -x^2+6x-11=0\\\\D=36-4\cdot (-1)\cdot (-11)=-8\ \textless \ 0\; ,\; \; a=-1\ \textless \ 0\; \; \to \\\\-x^2+6x-11\ \textless \ 0$

Answer 2

А) x² -14x +50 =(x-7)² +1 ≥1.

* * * или D/4 =7² -50 = -1<0  и a=1>0. * * *
---
б) -x² +6x -11 = -(x -3)² -2 ≤ -2.

* * *или D/4 =3² -(-1)*(-11) = -2 <0  и a=-1<0. * * *