Question

Известно, что sin t * cos t = -0.5 (произведение синуса и косинуса равно -0,5) найти sin^8 t + cos ^8 t (синус в 8-ой степени плюс косинус в 8-ой степени)

Answer 1

$sint*cost=-\frac{1}2\\sin^8t+cos^8t=?\,\,(1)$

Преобразуем (1):

$sin^8t+cos^8t=sin^8t+2sin^4t*cos^4t+cos^8t-\\-2sin^4t*cos^4t=(sin^4t+cos^4t)^2-2sin^4t*cos^4t=?\,\, (2)$

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством. Сразу возведем его в квадрат.

$sin^2x+cos^2x=1\\sin^4x+2sin^2x*cos^2x+cos^4x=1\\sin^4x+cos^4x=1-2sin^2x*cos^2x\,\,(3)$

Теперь из начальной формулы найдем $2sin^2xcos^2x$ и $2sin^4x*cos^4x$
$sinx*cosx=-\frac{1}2\\sin^2x*cos^2x=\frac{1}4\\2sin^2x*cos^2x=\frac{1}2\\\\sin^4x*cos^4x=\frac{1}{16}\\2sin^4x*cos^4x=\frac{1}8$

Подставим полученное значение в формулу (3): 
$sin^4x+cos^4x=1-2sin^2x*cos^2x=1-\frac{1}2=\frac{1}2$
Теперь все известно, подставим посчитанные значения в формулу (2):
$(sin^4t+cos^4t)^2-2sin^4t*cos^4t=(\frac{1}2)^2-\frac{1}8=\frac{1}4-\frac{1}8=\\=\frac{1}8$
И того: $sin^8t + cos^8t=\frac{1}8$