Question

Верёвочку длины 1 и верёвочку длины 2 разрезали на несколько частей каждую. все части оказались равными по длине . сколько могло получиться частей? а) 2014 б) 2015 в) 2016 г) 2017 д)2018

Answer 1

При разрезании верёвочки длины 1 на   $n \geq 2$   равных частей
у кваждой будет длина   $\frac{1}{n} \ .$

Для того, чтобы кусочки верёвочки длины 2 после разрезания были бы такой же длины, т.е.   $\frac{1}{n} \ ,$   нужно разрезать верёвочку длины 2 на   $2 : \frac{1}{n} = 2 \cdot \frac{n}{1} = 2 n \$   частей.

Значит всего будет   $n + 2n = 3n \$   частей.

Проще говоря, на сколько бы частей не разрезали эти верёвочки, общее число всех кусочков непременно окажется кратным трём, т.е. должно делиться на три. По признаку делимости на три, и сумма цифр такого числа обязательно должна делиться на три.

Если предлагаются варианты ответов: 2014, 2015, 2016, 2017 или 2018, то единственным подходящим вариантом будет 2016, поскольку:

$2 + 0 + 1 + 4 = 7 \ ,$   не делится на три.

$2 + 0 + 1 + 5 = 8 \ ,$   не делится на три.

$2 + 0 + 1 + 6 = 9 \ ,$   делится на три!

$2 + 0 + 1 + 7 = 10 \ ,$   не делится на три.

$2 + 0 + 1 + 8 = 11 \ ,$   не делится на три.

О т в е т :  (В)  2016 .