Question

Определите, при каких натуральных n значения данного выражения являются целыми числами:

Answer 1

Выделим целую часть данной дроби, разделив числитель на знаменатель: 

$$$ \arraycolsep=0.05em \begin{array}{rrr@{\,}r|r} n^2&{}+3n&{}-2&&\,n+2\\ \cline{5-5} n^2&{}+2n&&&\,n+1\\ \cline{1-2} &{}n&{}-2\\ &{}n&{}+2\\ \cline{2-3} &&-4\\ \end{array} $$$

Тогда $\frac{n^2+3n-2}{n+2}=n+1- \frac{4}{n+2}$. Исходная дробь будет целым числом, если $4$ делится на $(n+2)$. А это возможно, когда 

$n+2=1,$  $n=-1$

$n+2=-1,$  $n=-3$

$n+2=2,$  $n=0$

$n+2=-2,$  $n=-4$

$n+2=4,$  $n=2$

$n+2=-4,$  $n=-6$

По условию $n$ ∈ $N$, значит в ответ запишем число $2$

ответ: $2$