Question

Решить неравенства log0,5 (x2-7x+12)> log0.5(17-3x) lg^2x> =9

Answer 1

$1)$

$log_{0.5} ( x^{2} -7x+12)\ \textgreater \ log_{0.5}(17-3x)$

ОДЗ: 

$\left \{ {{ x^{2} -7x+12\ \textgreater \ 0} \atop {17-3x\ \textgreater \ 0}} \right.$

$\left \{ {{(x-3)(x-4)\ \textgreater \ 0} \atop {-3x\ \textgreater \ -17}} \right.$

$\left \{ {{(x-3)(x-4)\ \textgreater \ 0} \atop {x\ \textless \ 5 \frac{2}{3} }} \right.$

$x^2-7x+12=0$
$D=(-7)^2-4*1*12=49-48=1$
$x_1= \frac{7+1}{2}=4$
$x_2= \frac{7-1}{2}=3$
$x^{2} -7x+12=(x-3)(x-4)$
   
        +                 -                +
---------------(3)----------(4)----------------
////////////////                    ///////////////
-----------------------------------(5 2/3)-----
//////////////////////////////////////

$x$ ∈ $(-$ ∞ $;3)$ ∪ $(4;5 \frac{2}{3} )$

$x^{2} -7x+12\ \textless \ 17-3x$

$x^{2} -7x+12-17+3x\ \textless \ 0$

$x^{2} -4x-5\ \textless \ 0$

$D=(-4)^2-4*1*(-5)=16+20=36$

$x_1= \frac{4+6}{2}=5$

$x_2= \frac{4-6}{2} =-1$
   
     +                   -                + 
----------( -1)------------(5)------------
               ///////////////

С учётом ОДЗ получаем

ответ: $(-1;3)$ ∪ $(4;5)$

$2)$

$lg^2x \geq 9$

ОДЗ:
$x\ \textgreater \ 0$

$lg^2x-9 \geq 0$

$(lgx-3)(lgx+3) \geq 0$

$lgx-3=0$   или   $lgx+3=0$

$lgx=3$    или    $lgx=-3$  

$x=10^3$  или    $x= 10^{-3}$

$x=1000$  или   $x= \frac{1}{1000}$
 
      +                            -                     + 
--------------[1/1000]-----------[1000]------------
////////////////                                  ///////////////

$x$ ∈ $(-$ ∞ $; \frac{1}{1000} ]$ ∪ $[1000;+$ ∞ $)$

С учётом ОДЗ получаем

ответ:  $(0; \frac{1}{1000}]$ ∪ $[1000;+$ ∞ $)$