Ввагоне поезда 9 купе,часть их которых трёхместные,а остальнве четырёхместные.сколько купе каждого типа,если всего в них можно разместить 32 пассажира.решите с системы ,
Пусть трёхместных купе х, четырёхместных у, тогда х+у=9 в трёх местных купе размещается 32/х пассажиров, в четырёхместных (32-32/х) /у пассажиров. система х+у=9 (32/х) +(32-32/х) /у =32
Для начала определим, является ли каждая из систем векторов линейно независимой. Для этого составим матрицу из координат векторов каждой системы и проверим ее ранг.
Матрица для системы векторов а1, а2, а3 будет выглядеть следующим образом:
|9 2 7 |
|3 -1 4 |
|-4 3 1 |
Матрица для системы векторов б1, б2, б3 будет выглядеть следующим образом:
|1 3 5 |
|-2 1 -3 |
|7 -4 10 |
Для определения ранга матрицы можно воспользоваться методом Гаусса или проанализировать ее элементы. Но скорее всего это слишком сложно для школьника, поэтому можно воспользоваться свойством определителя. Если определитель матрицы равен нулю, то система векторов линейно зависима.
Решим полученную систему линейных уравнений. Для этого можно воспользоваться методом Крамера или методом Гаусса.
С использованием метода Гаусса получим следующую матрицу:
|9 2 7 | 28 |
|3 -1 4 | 16 |
|-4 3 1 | 12 |
5. Вычитаем из 1-го уравнения 2-ое умноженное на 2/9:
|1 0 5/9 | 4/9 |
|0 1 1/5 | 8/5 |
|0 15 5 | 60 |
6. Вычитаем из 3-го уравнения 2-ое, умноженное на 15:
|1 0 5/9 | 4/9 |
|0 1 1/5 | 8/5 |
|0 0 0 | 0 |
Теперь полученная матрица имеет ступенчатый вид. Запишем ее в виде системы уравнений:
x1 + (5/9) * x3 = 4/9
x2 + (1/5) * x3 = 8/5
0 = 0
Так как последнее уравнение 0 = 0 всегда выполняется, то можно произвольно выбрать значение x3 и подставить его в выражения для x1 и x2, чтобы получить конкретные значения x1 и x2.
Для решения данной задачи воспользуемся методом обратных долей.
Пусть первый насос за 1 час наполняет 1/x долю бассейна, второй насос за 1 час наполняет 1/y долю бассейна, а третий насос за 1 час наполняет 1/z долю бассейна.
Из условия задачи мы знаем следующее:
1/x + 1/y = 1/6 (1)
1/y + 1/z = 1/12 (2)
1/x + 1/z = 1/8 (3)
Подставим (4) в (5) и упростим выражение:
1/z = 1/12 - 1/(1/6 - 1/x) (6)
Сделаем замену 1/x = a и упростим уравнение (6):
1/z = 1/12 - 1/(1/6 - a) (7)
Разделим числитель и знаменатель во втором слагаемом правой части уравнения (7) на общий делитель 1/6 и упростим выражение:
1/z = 1/12 - 6/(1 - 6a) (8)
Умножим правую и левую часть уравнения (8) на 12z (общее кратное):
12 = z - 72z/(1 - 6a) (9)
Раскроем скобки в знаменателе и упростим выражение:
12 = z - 72z + 432az (10)
Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
432az - 71z + 12 = 0 (11)
Для рассмотрения уравнения (3) выполним аналогичные действия:
Подставим (12) в (13) и упростим выражение:
1/y = 1/6 - 1/(1/8 - 1/x) (14)
Сделаем замену 1/x = a и упростим уравнение (14):
1/y = 1/6 - 1/(1/8 - a) (15)
Разделим числитель и знаменатель во втором слагаемом правой части уравнения (15) на общий делитель 1/8 и упростим выражение:
1/y = 1/6 - 8/(1 - 8a) (16)
Умножим правую и левую часть уравнения (16) на 6y (общее кратное):
6 = y - 48y/(1 - 8a) (17)
Раскроем скобки в знаменателе и упростим выражение:
6 = y - 48y + 384ay (18)
Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
384ay - 47y + 6 = 0 (19)
Таким образом, мы получили систему из двух уравнений:
432az - 71z + 12 = 0 (11)
384ay - 47y + 6 = 0 (19)
Составим систему уравнений (11) и (19) в виде матрицы:
Определитель системы не должен быть равен нулю, поэтому рассмотрим два случая:
1. a не равно нулю:
В этом случае система имеет единственное решение:
z = (det1) / D = ((-12) * (-47) - (-71) * (-6)) / (47640a) = (1414 + 426) / (47640a) = 1840 / (47640a)
y = (det2) / D = ( (432a) * (-6) - (384a) * (-12) ) / (47640a) = ( 3168 - ( -4608 ) ) / ( 47640a ) = 7776 / (47640a)
2. a равно нулю:
В этом случае получим систему с бесконечным количеством решений.
Теперь найдем значение a:
Используем одно из данных условия:
1/x + 1/y = 1/6 (1)
Подставим в уравнение (1) найденные значения z и y:
1/x + ((47640a) / 1840) + ( (47640a) / 7776) = 1/6
Перенесем все слагаемые в левую часть:
1/x + ((47640a) / 1840) + ( (47640a) / 7776) - 1/6 = 0
Найдем общий знаменатель и упростим выражение:
(1 + (1840a) + (7776a) - (23040)) / (6 * x) = 0
Сократим выражение на (1 + 9616a) и решим уравнение:
(2304a - 23040) / 6x = 0
Решение этого уравнения дает значение a.
Получив значение a, можно подставить его в выражения для z и y и найти ответ на вопрос задачи: за какое время наполнят бассейн три насоса, работая одновременно. Так как в ответе требуется указать время в минутах, необходимо преобразовать найденное время в минуты.
в трёх местных купе размещается 32/х пассажиров, в четырёхместных (32-32/х) /у пассажиров.
система
х+у=9
(32/х) +(32-32/х) /у =32
х=9-у
32/(9-у) +32/у-(32/(9-у) у) =32
(32у+32(9-у)) /(9-у) у - 32/(9-у) у=32
(32у+288-32у-32)/(9-у) у=32
256/(9-у) у=32
(9-у) у=8
у^2-9y+8=0
y1=8
y2=1
х1=1
х2=8
ответ - одно трёхместное и 8 четырёхместных или одно четырёхместное и 8 трёхместных