Question

Пусть x1, x2 - корни уравнения x^2+px+q=0. составьте квадратное уравнение, корнями которго являются: а) x1^2, x2^2 ; б) sqrt(x1), sqrt(x2); в) x1/x2 ; x2/x1

Answer 1

$x^2+px+q=0$

по теореме Виета:

$x_1+x_2=-p$

$x_1x_2=q$

a) по той же теореме:

$x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1x_2-2x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-p)^2-2q=p^2-2q$

$x_1^2x_2^2=(x_1x_2)^2=q^2$

$x^2-(p^2-2q)x+q^2=0$

б) снова по теореме Виета:

$\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\sqrt{(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2})^2}=\sqrt{x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}}=\sqrt{-p+2\sqrt{q}}$

$\sqrt{x_1}\cdot \sqrt{x_2}=\sqrt{x_1x_2}=\sqrt{q}$

$x^2-\sqrt{-p+2\sqrt{q}}\cdot x+\sqrt{q}=0$

в) и опять по теореме Виета:

$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{(-p)^2-2q}{q}=\frac{p^2}{q}-2$

$\frac{x_1}{x_2}\cdot \frac{x_2}{x_1}=1$

$x^2-(\frac{p^2}{q}-2)x+1=0$