Question

Уравнение: (x^2+4x+8)^2+3x^3+14x^2+24x=0 как это решать?

Answer 1

Раскрывая скобки и приведя подобные члены, приходим к уравнению
x⁴+11*x³+46*x²+88*x+64=0. Это уравнение является приведённым, так как коэффициент перед членом с наивысшей степенью x равен 1. Поэтому корни этого уравнения могут быть среди делителей его свободного члена, т.е. 64. Целыми делителями числа 64 являются +1,-1,+2,-2,+4,-4,+8,-8,+16,-16,+32,-32, +64,-64. Но очевидно, что положительные делители не могут быть решениями уравнения, так как x⁴+11*x³+46*x²+88*x+64>0 при x>0. Подставляя в уравнение отрицательные делители, находим, что число x=-2 является одним из корней уравнения. Разделив многочлен x⁴+11*x³+46*x²+88*x+64 на двучлен x-(-2)=x+2, получаем многочлен x³+9*x²+28*x+32. Значит, 
x⁴+11*x³+46*x²+88*x+64=(x+2)*(x³+9*x²+28*x+32)=0. Уравнение x³+9*x²+28*x+32=0 тоже приведённое, поэтому корни этого уравнения могут быть среди делителей его свободного члена, т.е. 32. Но так как при x>0 x³+9*x²+28*x+32>0, то корни нужно искать лишь среди отрицательных делителей. Отрицательными делителями числа 32 являются числа 32 являются числа -1,-2,-4,-8,-16,-32. Подставляя их в уравнение, находим x=-4 - один корень данного уравнения (и соответственно второй корень исходного уравнения. Деля многочлен 
x³+9*x²+28*x+32 на двучлен x-(-4)=x+4, получаем квадратный трёхчлен x²+5*x+8. Значит, x³+9*x²+28*x+32=(x+4)*(x²+5*x+8). Дискриминант уравнения x²+5*x+8 D=5²-4*1*8=-7, поэтому действительных решений это уравнение не имеет. Значит, исходное уравнение имеет лишь два действительных корня: x1=-2 и x2=-4.
ответ: x1=-2, x2=-4.