Question

Нужна с по комбинаторике. найти количество всех натуральных пятизначных чисел, которые составлены с цифр 1, 4 и 7( не все цифры должны быть всегда использованы), таких, что они имеют в себе одинаковое количество цифр 1 и 4. ответ должен быть 51.

Answer 1

Xxxxx - пятизначный
3-3-3-3-3=3^5
По формуле это размещение с повторением. Формула $A_{n} ^{m}= n^{m} \\ n=3 (сумма количества цифр) m=5(возможное повторение)$

Answer 2

Здесь используются перестановки с повторениями. Допустим, есть группа из n различных элементов. Тогда количество их расставить на n мест равно n!. Теперь пусть внутри группы из n элементов есть повторяющиеся элементы. Допустим, есть k_1 элементов, равных a_1; k_2 элементов, равных a_2; ... ; k_q элементов, равных a_q. Выполняется условие k_1 + k_2 +..+k_q = n.
Тогда число РАЗЛИЧНЫХ расставить n уже не различных элементов на n мест равно n!/(k_1! * k_2! * ... * k_q!). Применим эту формулу к этой задаче.
Будем отталкиваться от количества 1 и 4. Пусть оно равно k.
1) k = 0. Тогда имеется 1 группа с 5 элементами, равными 7, а количество расставить их на 5 мест равно 5!/5! = 1.
2) k = 1. Тогда имеется 3 группы: 1-я группа состоит из одного элемента 1, 2-я группа состоит из одного элемента 4, 3-я группа состоит из трех элементов 7. Тогда число расставить их равно 5!/(1!*1!*3!)=20.
3) k = 2. Имеется 3 группы: 1-я группа состоит из двух элементов, равных 1, 2-я группа состоит из двух элементов, равных 4, третья группа состоит из одного элемента, равного 7. Тогда число расставить их равно 5!/(2!*2!*1!)=30.
Случаи с k > 2 невозможны, так как в пятизначном числе не может быть одновременно k > 2 единиц и четверок.
Суммируем полученные