Question

Как найти площадь криволинейной трапеции y=4x-x^2 и y=0: решите так чтоб я понял, откуда что берется как что? плс

Answer 1

Y=4x-x²   y=0
S=∫ₓ₁ˣ² f(y₁-y₂)dx
Находим х₁ и х₂:
4x-x²=0
x²-4x=0
x(x-4)=0
x₁=0   x₂=4   ⇒
S=∫₀⁴ (4x-x²-0)dx=4x²/2-x³/3 |₀⁴=2*4²-4³/3=32-64/3=10²/₃≈10,67
ответ: S≈10,67 кв.ед.

Answer 2

Лучше сразу сделать рисунок. По нему сразу видно о какой фигуре идет речь, в каких пределах по оси ОХ лежит эта фигура и где относительно оси ОХ она расположена, так как это влияет на знак перед интегралом. Площадь фигуры это определённый интеграл (геометрический смысл интеграла), поэтому она находится по формуле: $S= \int\limits^b_a {f(x)} \, dx$. Пределы интегрирования можно определить по рисунку, а можно и аналитически решив уравнение: 4х-х²=0; x(4-x)=0; x=0; 4-x=0; x=4. То есть наша фигура расположена на промежутке [0;4]. Далее подставляем нашу функцию и пределы интегрирования в формулу площади и считаем: $S= \int\limits^4_0 {(4x-x^2)} \, dx =(2x^2- \frac{x^3}{3} )|_0^4=2*4^2- \frac{4^3}{3} -0=32- \frac{64}{3} =10 \frac{2}{3}$ ед².