Question

Решите уравнение третьей степени: x^3-3x^2-6x-4=0

Answer 1

Сделаем замену x=2t
8t³-12t²-12t-4=0
2t³-3t²-3t-1=0
3t³-(t³+3t²+3t+1)=0
3t³-(t+1)³=0
(1+t)³/t³=3
1+1/t=∛3
t=1/(∛3-1)
x=2/(∛3-1).

Answer 2

Как говорилось в комментарии выше, можно ввести замену x=2/(t-1). Не очень очевидная замена, но все же приносит результат.
(2/(t-1))^3-3*(2/(t-1))^2-6*(2/(t-1))-4=0
Умножим обе части уравнения на (t-1)^3. Получим:
2^3-3*2^2*(t-1)-6*2*(t-1)^2-4*(t-1)^3=0
8-12(t-1)-12(t-1)^2-4(t-1)^3=0
4(t^3-3t^2+3t-1)+12(t^2-2t+1)+12(t-1)-8=0
t^3-3t^2+3t-1+3t^2-6t+3+3t-3-2=0
t^3-3=0
t^3=3
Отсюда получается одно действительное решение t=∛3 и два комплексных, которые учитывать не будем.
При t=∛3 x=2/(∛3-1)=2(1+∛3+(∛3)²)/((1+∛3+(∛3)²)(∛3-1)=2(1+∛3+(∛3)²)/2=1+∛3+(∛3)²=1+∛3+∛9.
ответ: 1+∛3+∛9.