Произведение первых n натуральных чисел обозначают n! и читают "эн факториал": n! = 1*2*3**(n-1)*n на сколько нулей оканчивается: а) 10! б) 50! в) 100!
Среди чисел 1, 2,...,n количество чисел делящихся на простое число p равно [n/p], где [...] - целая часть числа. Т.к. среди них есть числа делящиеся на p², p³,..., то количество чисел среди них, которые делятся на p только в первой степени равно [n/p]-[n/p²], т.е. мы из всех делящихся на р вычли все, длящиеся на р². Аналогично, количество чисел в ряду 1,...,n делящихся ровно на p² и не делящихся на p в степенях больших 2, равно [n/p²]-[n/p³]. Для степени p³ таких чисел будет [n/p³]-[n/p⁴] и т.д... Таким образом, количество чисел, у которых в разложении на простые p входит в разложение ровно в k-ой степени равно [n/p^k]-[n/p^(k+1)].
Значит в разложении n! на простые множители простое p входит в степени ([n/p]-[n/p²])+2([n/p²]-[n/p³])+3([n/p³]-[n/p⁴])+...=[n/p]+[n/p²]+[n/p³])+... Понятно, что с некоторой степени все целые части [n/p^k] будут равны 0, т.к.n/p^k станет меньше 1 при больших k (а именно, при k>[ln(n)/ln(p)].).
Теперь, чтобы посчитать сколькими нулями оканчивается число n! нужно посчитать на какую степень десятки оно делится. Поскольку 10=2*5, нужно узнать в каких степенях 2 и 5 входят в разложение n! на простые множители и из этих степеней выбрать минимальную. Согласно доказанной формуле, очевидно, что степень двойки будет больше степени пятерки, поэтому достаточно посчитать степень пятерки.
Итак, а) у числа 10! в разложении на простые 5 входит в степени [10/5]+[10/5²]+...=2+0+...=2, т.е. 10! заканчивается 2 нулями. б) у числа 50! в разложении на простые 5 входит в степени [50/5]+[50/5²].=10+2=12, т.е. 50! заканчивается 12 нулями. в) у числа 100! в разложении на простые 5 входит в степени [100/5]+[100/5²].=20+4=24, т.е. 100! заканчивается 24 нулями.
Решение: 1) ОДЗ для данной функции определено на всей числовой прямой (D(f) ∈ R) 2) Функция ни четна, ни нечетна 3) Точки пересечения с осью OX при x₁ = 0; x₂ = 3. Точки пересечения с осью OY в y = 0 4) (x-3)^2 в данной функции будет иметь постоянно положительный знак, т.к. оно находится под квадратом. Значит, знак всей функции зависит только от множителя x. Там, где x>0, функция положительна; соответственно, где x<0, там и y<0. 5) Мы нашли точки экстремума. Теперь найдем промежутки возрастания/убывания функции:
Складывать нужно производительности каждого, затем объем делим на сумму производительностей и получим время 2ч 40мин. Выразим произодительности через отношение объема к времени каждого. Принять время первого за "а", тогда а+120, -время второго 2а время третьего 1/а произ-ть одного 1/(а+120) произ-ть второго 1/2а произ-ть третьего 1/(1/а+1/(а+120)+1/2а) =160мин 1/а+1/(а+120)+1/2а=1/160 3/2а+1/(а+120)=1/160 (3а+360+2а) /(2а^2+120*2а) =1/160 160*5а+160*360=2а^2+240а 2а^2-560а-57600=0 а=360мин а+120=480мин 2а=720мин
Значит в разложении n! на простые множители простое p входит в степени
([n/p]-[n/p²])+2([n/p²]-[n/p³])+3([n/p³]-[n/p⁴])+...=[n/p]+[n/p²]+[n/p³])+...
Понятно, что с некоторой степени все целые части [n/p^k] будут равны 0, т.к.n/p^k станет меньше 1 при больших k (а именно, при k>[ln(n)/ln(p)].).
Теперь, чтобы посчитать сколькими нулями оканчивается число n! нужно посчитать на какую степень десятки оно делится. Поскольку 10=2*5, нужно узнать в каких степенях 2 и 5 входят в разложение n! на простые множители и из этих степеней выбрать минимальную. Согласно доказанной формуле, очевидно, что степень двойки будет больше степени пятерки, поэтому достаточно посчитать степень пятерки.
Итак,
а) у числа 10! в разложении на простые 5 входит в степени
[10/5]+[10/5²]+...=2+0+...=2, т.е. 10! заканчивается 2 нулями.
б) у числа 50! в разложении на простые 5 входит в степени
[50/5]+[50/5²].=10+2=12, т.е. 50! заканчивается 12 нулями.
в) у числа 100! в разложении на простые 5 входит в степени
[100/5]+[100/5²].=20+4=24, т.е. 100! заканчивается 24 нулями.