Question

Втрёхзначном числе а сотен, б-десятков и с единиц и а> с. 1) составьте и сумму данного числа и числа, записанного теми же цифрами, но взятками в обратном порядке. 2) составить разность данного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке. доказать, что полученная разность делится на 9 и на 11.

Answer 1

1) 
$A= \overline{abc}=100a+10b+c;$
$B=\overline{cba}=100c+10b+a$
$A+B=100*(a+c)+10*2b+(a+c)= \overline{a+c,2b,a+c}$
$a \neq 0,and,c \neq 0;and,0$

2) 
$A-B=100*(a-c)+10*0+(c-a)= \overline{a-c,0,c-a}$
$a \neq 0,and,c \neq 0,and,0 \ \textless \ a-c \ \textless \ 9,and,0 \ \textless \ c-a \ \textless \ 9$

На 9: Натуральные числа при делении на 9 дают такой же остаток, что и сумма их цифр. Основываясь на этом, число $A$ и число $B$ имеют одинаковые остатки. Теперь, если эти два числа отнять, и разделить на 9, при этом делении от чисел $A$ и $B$ уничтожатся, т.е. у числа $A-B$ в остатке при делении на 9 оказывается 0, что и означает, что эта разница делится на 9 нацело.

Или по другому, сразу и на 11 и на 9:
$A-B=100*(a-c)+10*0+(c-a)=99a-99c=11*9*(a-c)$

Answer 2

A>c
100a+10b+c - трёхзначное число
100c+10b+a - число, записанное те ми же цифрами, 
                        но в обратном порядке
1) (100a+10b+c)+(100c+10b+a)=
   =100(a+c)+20b+(a+c)=101(a+c)+20b
2)  (100a+10b+c)-(100c+10b+a)=
   =100(a-c)+(c-a)=100(a-c)-(a-c)=99(a-c)
99(a-c)=9*11*(a-c) - делится на 9 и на 11