Натуральные числа разбиваются на два непересекающихся множества вида 2m и 2m+1, где m - натуральное. а) (2m)^2 + 2m + 1 = 4m^2 + 2m + 1 = 2(2m^2+m) + 1, где 2m^2+m натуральное (в силу того, что произведение и сумма натуральных числе всегда натуральна), будет нечётным. (2m+1)^2 + (2m+1) + 1 = 4m^2 + 4m + 1 + 2m + 1 + 1 = 4m^2 + 6m + 2 + 1 = 2(2m^2 + 3m + 1) + 1, где 2m^2 + 3m + 1 натуральное, будет нечётным.
b) Квадрат чётного числа - чётный. Потому число n^2 + n + 1 не может быть квадратом чётного числа. Покажем, что число не может быть и квадратом нечётного числа: n^2 + n + 1 = n^2 + 2n + 1 - n = (n+1)^2 - n Т.е. число n^2 + n + 1 отличается от квадрата (n + 1)^2 на n единиц. Может ли такое число быть квадратом? (n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 > n Не может.
Цельная и стройная запись решения: n^2 < n^2 + n + 1 = (n + 1)^2 - n < (n + 1)^2 Т.к. число n^2 + n + 1 лежит между двумя квадратами последовательных натуральных чисел, само оно не может быть квадратом натурального числа.
Понятно, что а и b должны быть делителями числа 1000=2³·5³. Также понятно, что если НОК(а,b)=1000, то по крайней мере одно из чисел а или b обязательно должно делиться на 2³=8 и по крайней мере одно из них обязательно должно делиться на 5³=125. Из условия, что а,b<1000 следует, что ровно одно из них делится на 8 и ровно одно делится на 125. Значит для a возможны варианты а=8, а=8·5=40, а=8·5²=200. В этом случае им будет соответствовать, например b=125. А также варианты а=125, а=125·2=250, а=125·4=500. В этом случае им соответствует, например b=8. Итак, для каждого параметра а и b возможны 6 значений: 8, 40, 125, 200, 250, 500.
P.S. Если в вопросе подразумевалось количество различных неупорядоченных пар (а,b) то их 9: (125, 8), (125, 40), (125, 200) (250, 8), (250, 40), (250, 200) (500, 8), (500, 40), (500, 200). Соответственно, если надо упорядоченные пары, которые получаются из каждой пары перестановкой, то их 18.
