Question

24 прямая у=2х является касательной к графику функции у=х^3+5х^2+9х+3 . найдите абсциссу точки касания

Answer 1

Значение производной  в точке касания равно угловому коэффициенту касательной,  в данном случай двум.  Значит  абсцисса точки касания находится из уравнения:   $yд=2$

$yд=(x^{3} +5 x^{2} +9x+3)д = 3x^{2}+10x+9 \\ 3x^{2}+10x+9 =2 \\ 3x^{2}+10x+7 = 0 \\ D=100 - 4*3*7 = 100 - 84 = 16 \\ x_{1} = -1; x_{2} = -2 \frac{1}{3} \\$

Т.о.  имеются две точки,   в которых касательная к графику нашей функции имеет  угловой коэффициент,  равный 2.  Вычислим значения  функции в этих точках и проверим, удовлетворяют ли они уравнению касательной:

при х = -1    $y = (-1)^{3} + 5*(-1)^{2} +9*(-1)+3 = -1+5-9+3 = -2$
при $x = -2 \frac{1}{3}$     $y = (-2 \frac{1}{3})^{3} + 5*(-2 \frac{1}{3})^{2} +9*(-2 \frac{1}{3}) +3= -3 \frac{13}{27} \\$

Проверим удовлетворяет ли уравнению касательной у=2х точка (-1;-2):
           -2 = 2*(-1)
           -2 = -2   ( ДА)
  
Проверим удовлетворяет ли уравнению касательной у=2х точка $(-2 \frac{1}{3} ; -3 \frac{13}{27})$:
            $-3 \frac{13}{27} = 2*(-2 \frac{1}{3}) \\ -3 \frac{13}{27} = -4 \frac{2}{3}$  (НЕТ)

ответ:   абсцисса  точки касания равна  -1.