Question

Определите минимальный период функций. y=sin4x*cos3x-cos4x*sin3x. y=3ctg(x/3)+8. определите четность. y=(3sin2x)/(1-cos5x). .

Answer 1

$y(x)=sin4x*cos3x-cos4x*sin3x=sin(4x-3x)=sin(x)$

наименьшим положительным периодом функции $y(x)=sin(x)$ есть $2\pi$
----------------------------------
наименьший положительный период $ctg(x)$ равен $\pi$
тогда у нас
$y(x)=y(x+\pi)$
пусть $T$ - искомый период, тогда

$3ctg(\frac{x}{3})+8=3ctg(\frac{x+T}{3})+8=3ctg(\frac{x}{3}+\frac{T}{3})+8=3ctg(\frac{x}{3}+\pi)+8$

имеем, что $\frac{T}{3}=\pi$

окончательно $T=3\pi$

3 перед котангенсом вытягивает график в три раза вдоль оси ОУ по отношению к графику просто котангенса не влияя на период
8-ка - сдвигает график $3ctg(\frac{x}{3})$ относительно оси OX на 8 единиц вверх, также не влияя на период
----------------------------------

проанализируем какова область определения функции:
$1-cos(5x) \neq 0$

$cos(5x) \neq1$

$5x \neq 2\pi n, n\in Z$

$x \neq \frac{2\pi n}{5}, n\in Z$

Как видим, запрещенные значения $x$ - это симметричное относительно начала координат множество точек,
что означает, что и область определения функции $y(x)$ также симметрична относительно начала координат. Это означает, что есть смысл проверять функцию на парность, дальше.

$y(-x)=\frac{3sin(2*(-x))}{1-cos(5*(-x))}=\frac{3sin(-2x)}{1-cos(-5x)}=\frac{-3sin(2x)}{1-cos(5x)}=-\frac{3sin(2x)}{1-cos(5x)}=-y(x)$

Функция оказалась непарной