3log₂²(sin(пx/3))+log₂(1-cos(2пx/3))=2
ОДЗ:
{sin(пx/3)>0 <=> 6k<x<6k+3
{1-cos(2пx/3)>0 <=> x≠3k, тогда
общее ОДЗ: 6k<x<6k+3
Так как 1-cos(2x)=2sin²x, то перепишем уравнение:
3log₂²(sin(пx/3))+log₂(2sin²(пx/3))=2
Замена: t=sin(пx/3)
3log₂²t+log₂(2t²)=2
3log₂²t+log₂2+log₂(t²)=2
3log₂²t+2log₂t-1=0
Замена: z=log₂t
3z²+2z-1=0
(z+1)(3z-1)=0
z=-1 и z=1/3
log₂t=-1 => t=1/2
log₂t=1/3 => t=∛2
sin(пx/3)=1/2
x=1/2+6k, k∈Z (1)
x=5/2+6k, k∈Z (2)
sin(пx/3)=∛2>1, решений нет
Тогда по условию 1≤x≤6, подбираем такие k, при которых условие будет выполняться. Тогда подставляя в (1) и (2) получаем, что на данном промежутке будет один корень - x=5/2.
ответ: x=5/2.
y = x²(x - 6) + 5
y = x³ - 6x² + 5
Находим производную функции:
y' = 3x² - 12x
Исследуем на монотонность функцию:
y' ≥ 0
3x² - 12x ≥ 0
3x(x - 4) ≥ 0
x ≥ 0 при (-∞; 0] и при [4; +∞), т.е. функция возрастает на (-∞; 0], убывает на [0; 4] и возрастает на [4; +∞).
Находим значения функции в крайних точках и точке 0 (эта точка является точкой максимума, т.к. в ней существует производная и функция меняет возрастание на убывание):
y(-1) = -1 - 6 + 5 = -2
y(2) = 8 - 24 + 5 = -9
y(0) = 0 - 0 + 5 = 5
ответ: yнаиб. = 5.
