Question

Найти все значения а, в котором выражение у = \ sqrt ((а + 1) х ^ (2) -2 (а-1) х + 3а-3) имеет смысл для любого вещественного х.

Answer 1

$\sqrt{f(x)}$ имеет смысл только при $f(x)\geqslant0$. 

$y=\sqrt{(a+1)x^2-2(a-1)x+3a-3$ будет иметь смысл для любого $x\in\mathbb{R}$ тогда и только тогда, когда $(a+1)x^2-2(a-1)x+3a-3$ неотрицательно при любом $x\in\mathbb{R}$, а это достигается при неположительном дискриминанте уравнения $(a+1)x^2-2(a-1)x+3a-3=0$.
$D=b^2-4ac=(-2(a-1))^2-4\cdot(a+1)\cdot(3a-3)=-a^2-a+2$.
$-a^2-a+2\leqslant0 \Rightarrow(a-1)(a+2)\geqslant0 \Rightarrow \left[\begin{array}{l} a\geqslant1, \\ a\leqslant-2. \end{array}\right.$

ответ: $a\in(-\infty;-2]\cup[1;+\infty)$.