Question

Найдите функции, обратные данным
так что первое x меньше или равно 0, а второе х больше либо равно 0

Answer 1

$y = \left \{ {{2-x, x \leq 2} \atop {1.5 - \sqrt{x + 0.25}, x \geq }2} \right.$

Объяснение:

Рассмотрим случай x ≤ 0

Тогда функция принимает значение

$y = x^2 - 3x + 2, x \geq 0$

Попробуем выразить явно функцию. Для этого выделим полный квадрат в правой части:

$x^2 - 3x + 2 = \\(x^2 - 3x + 2.25) - 0.25 = (x - 1.5)^2 - 0.25$

Теперь,

$y = (x - 1.5)^2 - 0.25\\y + 0.25 = (x - 1.5)^2 \\x = 1.5 б\sqrt{y+0.25}$

Для x ≤ 0 соответствует корень, взятый с отрицательным знаком. Поэтому обратная функция (просто в полученной функции меняем местами x и y), получим:

$y = 1.5 - \sqrt{x + 0.25}$.

Т.к. y ≤ 0, найдем соответствующее значение x:

$1.5 - \sqrt{x + 0.25} \leq 0\\\sqrt{x + 0.25} \geq 1.5\\x + 0.25 \geq 2.25\\x \geq 2$

Один кусочек нашли, займемся другим

При x ≥ 0 у нас функция принимает значение:

$y = -x + 2$

Выразим x через y, и после этого поменяем их местами

$y - 2 = -x\\x = 2 - y$

Т.е.

$y = 2 - x$

Поскольку y ≥ 0, найдем x, соответствующий этой обратной функции

$2 - x \geq 0 \\x \leq 2$

Соединяя все воедино, получим следующую кусочно-заданную функцию:

$y = \left \{ {{2-x, x \leq 2} \atop {1.5 - \sqrt{x + 0.25}, x \geq }2} \right.$

Answer 2

$f(x)=\left \{ {{x^2-3x+2, x$

1) $y = x^2-3x+2=(x-1,5)^2-0,25.$

Значит, при x ≤ 1,5 (соответственно и при x < 0), функция $y = x^2-3x+2$ убывает, тогда при x < 0 y > f(0) = 2.

$y=(x-1,5)^2-0,25,\\y+0,25=(x-1,5)^2,\\1,5 - x=\sqrt{y+0,25}, (*)\\x=1,5 - \sqrt{y+0,25}.$

(*): при x < 0 $\sqrt{(x-1,5)^2}=|x-1,5|=1,5-x.$

2) $y = 2-x.$

$y = 2-x,\\x = 2-y;\\2-y \geq 0,\\y \leq 2.$

В итоге получаем:

$f^{-1}(x)=\left \{ {{2-x, x \leq 2,} \atop {1,5 - \sqrt{x+0,25}, x2.}} \right.$