Question

1)вычислить: cos(arcsin 3/5 - arcsin 5/13) 2)вычислить: sin(arctg 1/2 + arctg(-1/3) 3)вычислить: cos(1/2arcsin 1/9) 4)вычислить: tg(arccos(-1/3)

Answer 1

ответ

1) 63/65; 2) -√2/10; 3) √((9+√80)/18); 4) -2√2

1) Косинус разности

cos(a - b) = cos a*cos b + sin a*sin b.

У нас a = arcsin(3/5); sin a = 3/5;

cos a = √(1 - sin^2 a) = √(1 - 9/25) = √(16/25) = 4/5

b = arcsin(5/13); sin b = 5/13;

cos b = √(1 - sin^2 a) = √(1 - 25/169) = √(144/169) = 12/13

sin a = 3/5; sin b = 5/13

Получаем

cos(a - b) = 4/5*12/13 + 3/5*5/13 = 48/65 + 15/65 = 63/65

2) Синус суммы

sin(a + b) = sin a*cos b + cos a*sin b

У нас a = arcctg(1/2); tg a = 1/2;

sin a = √5/5; cos a = 2√5/5.

Проверяем: sin^2 a + cos^2 a = 5/25 + 4*5/25 = 1/5 + 4/5 = 1. Все верно.

Точно также b = arcctg(-1/3); tg b = -1/3;

sin b = √10/10; cos b = -3√10/10

sin^2 b + cos^2 b = 10/100 + 9*10/100 = 1/10 + 9/10 = 1. Все верно.

Получаем

sin(a + b) = √5/5*(-3√10)/10 + 2√5/5*√10/10 = -3√50/50 + 2√50/50 = -√50/50 = -√2/10

3) Косинус половинного угла

cos (a/2) = √((1 + cos a)/2)

У нас a = arcsin(1/9); sin a = 1/9;

cos a = √(1 - sin^2 a) = √(1 - 1/81) = √(80/81) = √80/9

cos (a/2) = √((1 + √80/9)/2) = √((9 + √80)/18)

4) tg a = sin a / cos a

У нас a = arccos(-1/3); cos a = -1/3;

sin a = √(1 - cos^2 a) = √(1 - 1/9) = √(8/9) = √8/3

tg a = (√8/3) / (-1/3) = -√8/3 * 3 = -√8 = -2√2