Question

3cos²t - 4cost ≥ 4 6cos²t+1 > 5cost 4cos²t < 1 3cos²t < cost объясните как решать такое, желательно решите на листочке)

Answer 1

$3\cos^2t - 4\cos t \geq 4 \\\ 3\cos^2t - 4\cos t - 4 \geq 0$
Решаем уравнение, соответствующее данному неравенству:
 $3\cos^2t - 4\cos t - 4 \geq 0 \\\ D_1=(-2)^2-3\cdot(-4)=4+12=16 \\\ \cos t= \frac{2+4}{3} =2 \\\ \cos t= \frac{2-4}{3} =- \frac{2}{3}$
Тогда решением исходного неравенства будут промежутки меньше меньшего корня и больше большего:
$\left[\begin{array}{l} \cos t \leq - \frac{2}{3} \\ \cos t \geq 2 \end{array}$
Второе неравенство не имеет решений, так как косинус не принимает значений больших 1.
Первое неравенство удобно решить с тригонометрического круга.
$\arccos(- \frac{2}{3} )+2 \pi k \leq t \leq 2 \pi -\arccos(- \frac{2}{3} )+2 \pi k, \ k\in Z$
ответ: $\arccos(- \frac{2}{3} )+2 \pi k \leq t \leq 2 \pi -\arccos(- \frac{2}{3} )+2 \pi k$, где k - целые числа

$6\cos^2t+1 \ \textgreater \ 5\cos t \\\ 6\cos^2t-5\cos t+1 \ \textgreater \ 0$
Можно на всякий случай вводить замены такого рода:
$\cos t=x \\\ 6x^2-5x+1\ \textgreater \ 0 \\\ D=(-5)^2-4\cdot6\cdot1=25-24=1 \\\ x=\frac{5+1}{2\cdot6} = \frac{1}{2} \\\ x=\frac{5-1}{2\cdot6} = \frac{1}{3}$
Тогда,
$\left[\begin{array}{l} x\ \textless \ \frac{1}{3} \\ x\ \textgreater \ \frac{1}{2} \end{array} \Rightarrow \left[\begin{array}{l} \cos t\ \textless \ \frac{1}{3} \\ \cos t\ \textgreater \ \frac{1}{2} \end{array}$
Решаем с тригонометрического круга:
$x\in(-\frac{ \pi }{3}+2 \pi k ; \frac{ \pi }{3}+2 \pi k )\cup(\arccos \frac{1}{3}+2 \pi k ;2 \pi -\arccos \frac{1}{3} +2 \pi k), k\in Z$
ответ: $x\in(-\frac{ \pi }{3}+2 \pi k ; \frac{ \pi }{3}+2 \pi k )\cup(\arccos \frac{1}{3}+2 \pi k ;2 \pi -\arccos \frac{1}{3} +2 \pi k)$, где k - целые числа

$4\cos^2t \ \textless \ 1 \\\ \cos^2t \ \textless \ \frac{1}{4} \\\ -\frac{1}{2} \ \textless \ \cos t \ \textless \ \frac{1}{2}$
Значения табличные, но можно и на круге изобразить:
$t\in(- \frac{2 \pi }{3} +2\pi k;- \frac{ \pi }{3} +2\pi k)\cup( \frac{ \pi }{3}+2\pi k ; \frac{2 \pi }{3} +2\pi k), \ k\in Z$
ответ: $t\in(- \frac{2 \pi }{3} +2\pi k;- \frac{ \pi }{3} +2\pi k)\cup( \frac{ \pi }{3}+2\pi k ; \frac{2 \pi }{3} +2\pi k)$, где k - целые числа

$3\cos^2t \ \textless \ \cos t \\\ 3\cos^2t - \cos t\ \textless \ 0 \\\ \cos t(3\cos t - 1)\ \textless \ 0 \\\ \cos t(\cos t - \frac{1}{3} )\ \textless \ 0 \\\ 0\ \textless \ \cos t\ \textless \ \frac{1}{3}$
Решение на тригонометрическом круге:
$x\in(- \frac{ \pi }{2}+2\pi k ;-\arccos \frac{1}{3} +2\pi k)\cup(\arccos \frac{1}{3}+2\pi k;\frac{ \pi }{2}+2\pi k), \ k\in Z$
ответ: $x\in(- \frac{ \pi }{2}+2\pi k ;-\arccos \frac{1}{3} +2\pi k)\cup(\arccos \frac{1}{3}+2\pi k;\frac{ \pi }{2}+2\pi k)$, где k - целые числа