При каких значениях параметра a уравнение
(5ˣ)² - (8a+5)*5ˣ +16a² +20a -14 =0 имеет единственное решение
Решение : (5ˣ)² - (8a+5)*5ˣ +16a² +20a -14 =0
Квадратное уравнение относительно 5ˣ > 0 || t = 5ˣ ||
D = (8a+5)² - 4(16a² +20a -14 )=64a² +80a +25 -64a² -80a+56 =81 =9² >0
т.е. это уравнение всегда имеет 2 решения
1. Если свободный член 16a² +20a - 14 будет отрицательный , то корни будут разных знаков и исходное уравнение будет иметь одно решение .
16a² +20a - 14 = 16(a +7/4)(a - 1/2) < 0 ⇒ a ∈ ( -7/4 ; 1/2 )
- - - - - - -
2. Второй случай свободный член 16a² +20a - 14 = 0
a = -7/4 или a = 1/2
уравнение принимает вид 5ˣ (5ˣ - 8a - 5) = 0, которое будет иметь
очевидно 5ˣ ≠ 0 , остается 5ˣ = 8a + 5 которое имеет решение если 8a + 5 > 0 ⇔ a > - 5 / 8 || a = 1/2 удовлетворяет ||
* * * -7/4 < -5/8 или 8*(-7/4 ) +5 = -14+5 = -9 < 0 * * *
Окончательно ответ: a ∈ ( -7/4 ; 1/2 ]
D = b^2 - 4 * c * a, где D - это дискриминант,
а - это коэффициент при х^2,
b - коэффициент при х,
с - свободный член.
x1 = (-b + √D) / 2a
x 2 = (-b - √D) / 2a
x^2 + 5x - 6 = 0 → (a = 1; b = + 5; c = - 6)
D = 25 - 4 * - 6 = 25 - 24 = 1 √D = 1
x1 = (- 5 + 1) / 2 = - 4/2 = - 2
x2 = (- 5 - 1) / 2 = -6 / 2 = - 3
ответ: х1 = - 2
х2 = - 3