Question

Докажите, что при любом натуральном n: 1*2+2*3+3*4++n(n+1)=(n(n+1)(2n+1))/(3)

Answer 1

$1*2 + 2*3 + 3*4 +...+ n(n + 1) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$
Докажем методом математической индукции:
 1) Шаг индукции: проверим, достигается ли равенство при n = 1.
$1(1 + 1) = \frac{1(1 + 1)(1 + 2)}{3}$
$2 = \frac{6}{3}$
$2 = 2$

2) Пусть при n = k равенство выполняется:
$1*2 + 2*3 + 3*4 +...+ k(k + 1) = \frac{k(k + 1)(k + 2)}{3}$ $(1)$

3) Шаг индукции: докажем, что при $n = k + 1$ равенство также верно:
$1*2 + 2*3 + 3*4 +...+(k + 1)(k + 2) + (k+1)(k + 2) =$ $\frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3}$

$1*2 + 2*3 + 3*4 +...+(k + 1)(k + 2) =$ $\frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3} - (k+1)(k +2)$

$1*2 + 2*3 + 3*4 +...+(k + 1)(k + 2) =$$\frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3} - \frac{3(k+1)(k +2)}{3}$

$1*2 + 2*3 + 3*4 +...+(k + 1)(k + 2) =$ $\frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3) - 3(k+1)(k +2)}{3}$

$1*2 + 2*3 + 3*4 +...+(k + 1)(k + 2) =$ = $\frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3 - 3)}{3}$

$1*2 + 2*3 + 3*4 +...+(k + 1)(k + 2) = \frac{k(k + 1)(k + 2)}{3}$

Мы пришли к равенству $(1)$, которое предполагало, что при любом $n = k$, n ∈ N равенство верно. Значит, оно верно для любого n, n ∈ N.