Question

Впишите вместо многоточия какое-либо число так, чтобы полученное неравенство было верно при любых значениях а и b

Answer 1

Если представить многочлен в виде суммы двух квадратов, то неравенство будет больше 0 при любых значениях a и b.

1) Доведем а²-8а до квадрата.

$a^{2} -8a+...=a^2-2*4a+...=a^2-2*4a+16=(a-4)^2$

2) Доведем b²-16b до квадрата

$b^{2}-16b+...=b^2-2*8b+.....=b^2-2*8b+64=(b-8)^2$

$(a-4)^2+(b-8)^2=a^2+b^2-8a-16b+80$

Но это выражение может быть равно 0, значит добавляем любое положительное число больше 80, тогда все выражение всегда будет >0.

Можно вписать любое число больше 80:
81,  82,   83 и т.д.

Например:
$a^2+b^2-8a-16b+82\ \textgreater \ 0$

Answer 2

A^2 - 2*4*a + 4^2 + b^2 - 2*8*b + 8^2 = a^2 - 2*4*a + 16 + b^2 - 2*8*b + 64 =
= (a - 4)^2 + (b - 8)^2 + 1 > 0 при любых a и b.
Получается, минимальное число, которое можно добавить 16+64+1 = 81.