Question

1) множество решений неравенства: варианты ответов: a) (-√8; -2]u{2; √8) b) (-∞; -2)u(-2; 2)u(2; ∞) c) (-∞; √8]u[√8; ∞) d) (-2; 2) e) [-2; 2] 2) если а= и b= , то выражение а³+b³/(a+b)³ равно: варианты ответов: a) 17/32 b) 37/32 c) 47/32 d) -27/32 3) все корни уравнения |x-7|-|x+2|=9 образуют множество: варианты ответов: a)∅ b) {-2} c) (-∞; -2]u[7; ∞) d) (-∞; ∞) e) (-∞; -2]

Answer 1

1) $\frac{3}{4-x^2} \geq \frac{1}{4}$
$\frac{3}{4-x^2} - \frac{1}{4} \geq 0$
$\frac{12-(4-x^2)}{4(4-x^2)} \geq 0$
$\frac{8+x^2}{4(2-x)(2+x)} \geq 0$
Числитель и число 4 в знаменателе больше 0 при любом x, поэтому на них можно разделить, все зависит только от скобок в знаменателе:
$\frac{1}{(2-x)(2+x)} \geq 0$
По методу интервалов:
x ∈ (-2; 2)
ответ: D) (-2; 2)

2) $\frac{a^3+b^3}{(a+b)^3} = \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{(a+b)^3} =\frac{a^2-ab+b^2}{(a+b)^2}$
Нам дано: $a= \frac{1}{ \sqrt{3} } - \frac{1}{ \sqrt{8} } ; b=\frac{1}{ \sqrt{3} } + \frac{1}{ \sqrt{8} }$
Отсюда: $a+b=\frac{1}{ \sqrt{3} } - \frac{1}{ \sqrt{8} }+\frac{1}{ \sqrt{3} } + \frac{1}{ \sqrt{8} }=\frac{2}{ \sqrt{3} }$
$a^2=(\frac{1}{ \sqrt{3} }-\frac{1}{ \sqrt{8} })^2= \frac{1}{3}- \frac{2}{ \sqrt{3*8} }+ \frac{1}{8}= \frac{11}{24} - \frac{2}{2 \sqrt{6} }= \frac{11}{24} - \frac{ \sqrt{6} }{6}$
$b^2=(\frac{1}{ \sqrt{3} }+\frac{1}{ \sqrt{8} })^2= \frac{1}{3}+ \frac{2}{ \sqrt{3*8} }+ \frac{1}{8}= \frac{11}{24} + \frac{2}{2 \sqrt{6} }= \frac{11}{24} + \frac{ \sqrt{6} }{6}$
$ab=(\frac{1}{ \sqrt{3} }-\frac{1}{ \sqrt{8} })(\frac{1}{ \sqrt{3} }+\frac{1}{ \sqrt{8} })= \frac{1}{3} - \frac{1}{8} = \frac{5}{24}$
Подставляем всё это
$\frac{a^3+b^3}{(a+b)^3} =\frac{a^2-ab+b^2}{(a+b)^2}=(\frac{11}{24} - \frac{ \sqrt{6} }{6}- \frac{5}{24} +\frac{11}{24} + \frac{ \sqrt{6} }{6}):(\frac{2}{ \sqrt{3} })^2= \frac{17}{24} : \frac{4}{3} = \frac{17}{32}$
ответ: A) 17/32

3) |x - 7| - |x + 2| = 9
При x < -2 будет |x - 7| = 7 - x; |x + 2| = -x - 2
7 - x - (-x - 2) = 7 - x + x + 2 = 9
9 = 9 - это истинно для любого x ∈ (-oo; -2)
При -2 <= x < 7 будет |x - 7| = 7 - x; |x + 2| = x + 2
7 - x - (x + 2) = 7 - x - x - 2 = 5 - 2x = 9
-2x = 4; x = -2 - подходит
При x >= 7 будет |x - 7| = x - 7; |x + 2| = x + 2
x - 7 - (x + 2) = x - 7 - x - 2  = 9
-9 = 9
Решений нет
ответ: Е) (-oo; 2]