Question

Найдите все решения уравнения: tg^2 x -3=0,принадлежащие отрезку [0 ; 2п]

Answer 1

$tg^2 x -3=0$
$tg^2 x -( \sqrt{3})^2 =0$
$(tgx- \sqrt{3})(tgx+ \sqrt{3} )=0$
$tgx= \sqrt{3}$                 или          $tgx=- \sqrt{3}$
$x= \frac{ \pi }{3} + \pi k,$ $k$ ∈ $Z$     или     $x= -\frac{ \pi }{3} + \pi n,$ $n$ ∈ $Z$
$1)$
$k=-1,$   $x= \frac{ \pi }{3} - \pi=- \frac{2 \pi }{3}$ - не подходит
$k=0,$     $x= \frac{ \pi }{3}$
$k=1,$      $x= \frac{ \pi }{3} + \pi = \frac{4 \pi }{3}$
$k=2,$     $x= \frac{ \pi }{3} + 2\pi= \frac{7 \pi }{3}$  - не подходит

$2)$
$n=-1,$   $x=- \frac{ \pi }{3} - \pi=- \frac{4 \pi }{3}$ - не подходит
$n=0,$     $x=- \frac{ \pi }{3}$  - не подходит
$n=1,$     $x=- \frac{ \pi }{3} + \pi= \frac{2 \pi }{3}$
$n=2,$     $x=- \frac{ \pi }{3} + 2\pi = \frac{5 \pi }{3}$
$n=3,$     $x=- \frac{ \pi }{3} +3 \pi= \frac{8 \pi }{3}$ - не  подходит

 

Answer 2

 Решение:
  tg^2x-3=0,  (tgx-√3)(tgx+√3)=0.на отрезке [0;2π].
  tgx=√3, отсюда x=π/3+πn,n∈z  или tgx=-√3, отсюда x=-π/3+πn,n∈z.
  Отберем корни ,принадлежащие заданному отрезку.
  1) x=π/3+πn,n∈z. Чтобы найти целые n ,решим неравенство 
   0≤π/3+πn≤2π, -π/3≤πn≤2π-π/3, отсюда -1/3≤n≤5/3, целые n=0,n=1.
  подставим значения n в первое уравнение получим x1=π/3, x2=π+π/3=4π/3.
  2)x=-π/3+πn, n∈z. Аналогично решая неравенство  0≤-π/3+πn≤2π,
  получаем  π/3≤πn≤7π/3, или  1/3≤n≤2+1/3, целые n=1, n=2.
  подставляя найденные значения n во второе уравнение получаем
 x3=π-π/3=2π/3, x4=2π-π/3=5π/3.
 ответ: π/3 ,2π/3, 4π/3, 5π/3.