Question

Решите уравнение: варианты ответов: a) x=1 b) x1=4; x2=1 c) x1=2; x2=3 d) x1=0; x2=-1

Answer 1

Левая и правая части уравнения имеют неотрицательные значения, значит
$\displaystyle \left \{ {{x^2+3x-4=0} \atop { x^3+12x^2-11x-2=0}} \right.$
$x^2+3x-4=0$
По т. Виета: $x_1=1;\,\,\, x_2=-4$

$x^3+12x^2-11x-2=0\\ x^3-x^2+13x^2-13x+2x-2=0\\ x^2(x-1)+13x(x-1)+2(x-1)=0\\(x-1)(x^2+13x+2)=0\\ x_3=1\\ x^2+13x+2=0\\ D=b^2-4ac=13^2-4\cdot2=161\\ x_4_,_5= \dfrac{-13\pm \sqrt{161} }{2}$


ответ: $x=1$

Answer 2

$\sqrt{x^2+3x-4}+ \sqrt{x^3+12x^2-11x-2} =0 \\\\\sqrt{x^2+3x-4}=-\sqrt{x^3+12x^2-11x-2}$

В левой части равенства стоит квадр. корень, который может принимать либо положительные значения, либо ноль. Справа перед корнем стоит минус, значит выражение в правой части равенства либо отрицательное, либо ноль. Отсюда следует, что равенство этих выражений достигается только , если слева и справа будут стоять нули.
Найдём нули функций.

$\sqrt{x^2+3x-4} =0\; \; \to \; \; \; x^2+3x-4=0\\\\x_1=-4\; ,\; \; x_2=1\quad (teorema\; Vieta)\\\\\sqrt{x^3+12x^2-11x-2}=0\; \; \to \; \; \; x^3+12x^2-11x-2=0\\\\x=1\; \; -koren\; ,t.k.\; \; 1^3+12\cdot 1^2-11-2=0\\\\x^3+12x^2-11x-2=(x-1)(x^2+13x+2)\\\\x^2+13x+2=0\; ,\; \; D=169-8=161\; ,\\\\x_{3,4}= \frac{-13\pm \sqrt{161}}{2}\\\\x-1=0\; \; ,\; \; x_5=1$

Значения корней для обеих частей равенства  совпадают лишь при х=1. Поэтому и левая и правая части обращаются в 0 одновременно только при х=1. Поэтому уравнение  имеет единственное решение:  х=1.