Question

Исследуйте функцию и постройте ее график. f(x)=x^3-3x+6 если можно с пояснениями

Answer 1

$1) \ D(y) = (-\infty; +\infty) \\ E(y) = (-\infty; +\infty) \\$
2) Точек разрыва и асимптот у функции нет => функция непрерывна;
3) Точки пересечения о осью Oy:
$f(0) = 0 - 0 + 6 = 6 =\ \textgreater \ \ A(0; \ 6)$
С осью Ox мы не найдём, т.к. координаты там иррациональные.
4) $f(x) = x^3 - 3x + 6 \\ f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) + 6 = -x^3 + 3x + 6 \\ f(x) \neq f(-x) \ and \ \ f(-x) \neq -f(x)$.
Функция ни чётная, ни нечётная.
5) Найдём производную функции:
$f'(x) = 3x^2 - 3 \\$
Промежутки монотонности и точки экстремума:
$3x^2 - 3 \geq 0 \\ x^2 - 1 \geq 0 \\ (x - 1)(x + 1) \geq 0$
Производная больше нуля на $(- \infty; \ -1] \ and \ [1; \ + \infty)$ => на этих промежутках она возрастает, меньше нуля на $[-1; \ 1]$.
Значит, $x_{min} = 1; \ x_{max} = -1$.
6) Составим таблицу точек:
x -2 -1 0 1 2  3 
y 4  8 6  4  8  24