Question

Составьте уравнение касательных к графику функции y= x^8 -15x^4 -16 в точках его пересечения с осью абсцисс. найдите точку пересечения этих касательных.

Answer 1

1) Найдём точки пересечения графика функции с осью Ox:

$x^8-15x^4-16=0\\x^4=t\\t^2-15t-16=0\\D=225+64=289\\\sqrt{D}=17\\t_1=(15+17)/2=16\\t_2=(15-17)/2=-1.\\\\x^4=16\\x=\pm 2\\\\x^4=-1\\x\in \varnothing.$

$f(2)=f(-2)=0$

Значит, искомые точки:
$A(-2;0); B(2;0)$

2) Найдём прозводные в данных точках:

$f'(x)=8x^7-60x^3=4x^3(2x^4-15)\\ f'(-2)=4(-2)^3(2(-2)^4-15)=-32(2 \cdot 16-15)=-32 \cdot 17=-544.\\f'(2)=32 \cdot 17=544.$

3) На основе имеющихся данных составим уравнения касательных:

а) Касательная к точке x=–2:
$y=f'(-2)(x+2)+f(-2)=-544(x+2)+0=-544x-1088$

б) Касательная к точке x=2:
$y=f'(2)(x-2)+f(2)=544(x-2)+0=544x-1088.$

4) Приравняем касательные:
$-544x-1088=544x-1088\\544x=-544x\\x=0\\y(0)=-1088.$

ответ:
Уравнения касательных:
$y=544x-1088\\y=-544x-1088$
Точка пересечения:
$C(0;-1088)$.

Графически это выглядит так (обратите внимание на масштаб):