Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями: y= 1/2x² - 4x + 10 и y= x+2

Answer 1

Найдем ограниченные линии

$0.5x^2-4x+10=x+2\\ x^2-8x+20=2x+4\\ x^2-10x+16=0\\ x_1=2\\ x_2=8$

Графиком функции y=0.5x²-4x+10 является парабола с ветвями направленными вверх.

у=х+2 - прямая, которая проходит через точки (0;2) и (-2;0)

График у=х+2 расположен выше чем у=0,5х²-4х+10, значит площадь фигуры равна:

$\displaystyle \int\limits^8_2 {(x+2-0.5x^2+4x-10)} \, dx = \int\limits^8_2 {(-0.5x^2+5x-8)} \, dx =\\ \\ \\ =\bigg(-0.5 \cdot\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2}-8x\bigg)\bigg|^8_2=- \frac{8^3}{6} + \frac{5\cdot 8^2}{2} -8^2+ \frac{2^3}{6}-\\ \\ \\ - \frac{5\cdot 2^2}{2} -8\cdot 2=18$