Question

Найти общее и особое решение дифференциального уравнения (y^2) +(x^2)*y' = x*y*y'

Answer 1

$y^2+x^2\cdot y'=xyy'\\\\y'(x^2-xy)=-y^2\\\\y'= -\frac{y^2}{x^2-xy} \\\\ t=\frac{y}{x} \; ,\; \; y=tx\; ,\; y'=t'x+t\\\\t'x+t=- \frac{t^2x^2}{x^2-tx^2} \; ,\; \; t'x=-t- \frac{t^2x^2}{x^2(1-t)} \; ,\; \; t'x=-t- \frac{t^2}{1-t} \\\\t'x= \frac{-t+t^2-t^2}{1-t} \; ,\; \; t'x= \frac{-t}{1-t} \; ,\; \; t'= \frac{t}{x(t-1)} \; ,\; \frac{dt}{dx} =\frac{t}{x(t-1)}\\\\\int \frac{(t-1)dt}{t} =\int \frac{dx}{x} \; \; ,\; \; \int (1-\frac{1}{t})dt=\int \frac{dx}{x} \; ,\\\\t-ln|t|=ln|x|+ln|C|$

$\frac{y}{x} -ln|\frac{y}{x} |=ln|Cx|$