Question

Объясните мне, как найти производную к показательной функции y=a^x? я в 11 классе, институтские методы не катят! читал в трех учебниках (мордкович и другие, ссылки тут давать нельзя) разные пути нахождения но так и не понял ни одного. например, общая формула вроде бы ln(a)*a^x, но производная 2^(1-x*x) вовсе не ln(2)*2^(1-x*x), а -x*ln(2)*2^(2-x*x), а производная xe^x так и вовсе (1+x)*e^x. откуда они все это берут? , дайте в личку ссылку на нормальный учебник.

Answer 1

$y=xe^{x}$

Воспользуемся формулой производной произведения, т.е.$(uv)'=u'v+uv'$, имеем

$y'=(x)'\cdot e^x+x\cdot (e^x)'=1\cdot e^x+x\cdot e^x=e^x(1+x)$

Если я правильно переписал функцию $y=2^{1-x^2}$, то эта функция сложная, сначала берется производная внешней функции затем умножаем на внутренний, т.е. $(f(g(x))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

$y'=(2^{1-x^2})'=\ln2\cdot 2^{1-x^2}\cdot (1-x^2)'=\ln 2\cdot 2^{1-x^2}\cdot (-2x)=\\ \\ =-2x\ln 2\cdot 2^{1-x^2}$

Answer 2

Производная
a^x = a^x*ln(a)
теперь давай рассмотрим примеры:
2^x = 2^x * ln2 - всё, исходя из формулы
xe^x = (1 + x)e^x потому что x - константа и её выносим, а ln(e) = 1 - по свойству, отсюда и такое значение!
с первой функцией дела обстоят иначе - в степени находится и так сложная функция, производную которой тоже нужно найти. а затем, пользуясь свойствами логарифмов упростить функцию.