Доказательство: A и B - острые углы тупоугольного треугольника, значит угол С тупой и
0<A<90,0<B<90,90<C<180 и
cos C<0,cos A>0,cos B>0 (*)
tgA*tgB<1 равносильно неравенству
tgA*tgB-1<0
Рассмотрим левую часть неравенства, используя тригонометрические формулы
tg x=sin x\cos x
cos (A+B)= cosA*cosB- sinAsinB
cos(180-A)=-cos A
и соотношение углов треугольника A+B+C=180 и учитывая (*):
tgA*tgB-1=sinA\cos A*sin B\cos B-1=(sinAsinB-cosA*cosB)\(cos A*cos B)=
=-cos(A+B)\(cos A*cos B)=cos(180-(A+B))\(cos A*cos B)=cos C\(cos A*cos B)<0,
А значит tgA*tgB-1<0, или tgA*tgB<1, что и требовалось доказать.
