Question

(inx/x)2 dx найти неизвестный интеграл методом интегрирования за частицами

Answer 1

Ищем такой неопределённый интеграл $\int\limits (\frac{lnx}{x})^{2} \, dx$
Действительно, интегрировать нужно по частям по такой формуле:
$\int\limits u \, dv =uv- \int\limits v \, du$

Итак, пусть $u=ln^{2} x$, $dv= \frac{dx}{ x^{2} }$
Тогда $du= \frac{2lnx}{x}dx$, $v=- \frac{1}{x}$

Наш интеграл, согласно формуле интегрирования по частям, превращается в такой
$- \frac{ln^{2}x}{x}-\int\limits {(-\frac{1}{x})* \frac{2lnx}{x}}\, dx =- \frac{ln^{2}x}{x}+\int\limits { \frac{2lnx}{ x^{2} }}\, dx$

Придётся ещё раз применить метод интегрирования по частям.
Пусть $u=lnx; dv= \frac{dx}{ x^{2}}$
Тогда $du= \frac{dx}{x}; v=- \frac{1}{x}$

И наш интеграл, согласно формуле интегрирования по частям, приобретает вид:
$- \frac{ln^{2}x}{x}+\int\limits { \frac{2lnx}{ x^{2} }}\, dx=-\frac{ln^{2}x}{x}+2(- \frac{lnx}{x} -\int\limits { (-\frac{1}{x})* \frac{1}{x}}\, dx)=$
$=-\frac{ln^{2}x}{x}-2* \frac{lnx}{x}+2*\int\limits {\frac{1}{ x^{2} }}\, dx=-\frac{ln^{2}x}{x}-2* \frac{lnx}{x}-2* \frac{1}{x} +C$