Дано:
Найти 
- остаток от деления 
Решение.
1) Для начала разложим многочлен 
на множители, для этого решим уравнение:
2) Так как данный многочлен делится на 
с остатком, то представим его в виде
где
- неполное частное;
- искомый остаток.
Степень остатка деления многочлена на многочлен должна быть меньше степени делителя. В данном случае делитель - многочлен второй степени, так что остаток - многочлен первой степени, который имеет вид:
3) Подставим в равенство первый корень 
и получим:
Вычислим 
.
Так как 
, то
=> 
4) Аналогично решаем и со вторым корнем 
.
5) Подставим в полученное уравнение:
6) 
- искомый остаток.
ответ: 
|x-1| + |x-a| = 1 - a
Сразу заметим, что левая часть ≥ 0, значит и правая часть должна будет тоже быть ≥ 0 :
1 - a ≥ 0
a ≤ 1
Теперь может найти подмодульные нули :
1) x - 1 = 0 2) x - a = 0
x = 1 x = a
Выставим их на числовой прямой и заметим, что а будет находиться сзади 1, так как мы выяснили что а ≤ 1, а при а = 1 есть только один корень :
x < a a ≤ x < 1 x ≥ 1
(a)(1)
Рассмотри три случая :
1) x < a
-x + 1 - x + a = 1 - a
-2x + 2a = 0
2(a - x) = 0
x = a - не подходит, т.к x < a
ответ : x ∈ ∅
2) a ≤ x < 1
-x + 1 + x - a = 1 - a
0 = 0
x ∈ R
ответ : x ∈ [a ; 1)
3) x ≥ 1
x - 1 + x - a = 1 - a
2x = 2
x = 1
ответ : x = 1
Соединим все наши решения :
[ x ∈ ∅
[ x ∈ [a ; 1)
[ x = 1
x ∈ [a ; 1]
Уравнение будет иметь ровно 3 целых решения, если а = -1.
Уравнение будет иметь 3 и больше решений при а ≤ -1
-4х+х<7+8;
-3х<15;
-х <5; /×(-1)
х >-5.
2)-8х-7<2-4х;
-8х+4х<2+7;
-4х < 9 ;
-х < 2,25 ; /×(-1)
х > -2,25.
3)4х-1 <7+9х;
4х-9х<7+1;
-5х<8;
х > -1,6.
4)5х-10>-9+4х;
5х-4х>-9+10;
х > 1 .
5)8х-10>-3+7х;
8х-7х>-3+10;
х > 7 .