Назовем число n² — 1 почти квадратом натурального числа n. докажите, что произведение двух почти квадратов натуральных чисел всегда равно разности каких-то двух квадратов натуральных чисел.
Возмем два почти квадратом натуральных чисел n и k. n²-1 и k²-1 (n²-1)(k²-1)=n²k²-n²-k²+1=n²k²-n²-k²+1+2nk-2nk=n²k²-(n-k)²+1-2nk=(nk-1)²-(n-k)² Так как при при натуральных n и k, если хотя бы одно из них >1 и n≠k nk -1 и |n-k| натуральные, то (nk-1)² и (n-k)² тоже натуральные.
(n²-1)(k²-1)=n²k²-n²-k²+1=n²k²-n²-k²+1+2nk-2nk=n²k²-(n-k)²+1-2nk=(nk-1)²-(n-k)²
Так как при при натуральных n и k, если хотя бы одно из них >1 и n≠k
nk -1 и |n-k| натуральные, то (nk-1)² и (n-k)² тоже натуральные.