Question

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину a(0; 2) и уравнения высот x+y-4=0 и y=2x, где m-точка пересечения высот.

Answer 1

Вершина  А(0,2) ,
высота ВН (BM):  х+у-4=0  ⇒  х+у=4 ,
высота СK (CM):  у=2х  ⇒  2х-у=0.
Точка А(0,2) не принадлежит ни одной из высот, т.к. при подстановке её координат в уравнения высот не получаем верные равенства:
х+у=0+2=2≠4
у=2х  ⇒  2х=2·0=0≠2 .
Найдём координаты точки пересечения высот, точки М:

$\left \{ {{x+y=4} \atop {2x-y=0}} \right. \; \left \{ {{3x=4} \atop {y=2x}} \right. \; \left \{ {{x=\frac{4}{3}} \atop {y=\frac{8}{3}}} \right. \; \; M( \frac{4}{3}; \frac{8}{3} )$

Высота ВН имеет нормальный вектор n₁=(1,1). Он является для стороны АС направляющим вектором s₁=(1,1) . Тогда уравнение АС:

$AC:\; \; \frac{x-0}{1}=\frac{y-2}{1}\quad \to \quad x=y-2\; ,\; \underline {y=x+2}$

Высота СК имеет нормальный вектор n₂=(2,-1). Он явл. направляющим вектором для стороны АВ:

$AB:\; \; \frac{x-0}{2}= \frac{y-2}{-1}\; \; \to \; \; -x=2y-4\; ,\; \; 2y=-x+4,\; \underline {y=-\frac{x}{2}+2}$

Чтобы найти уравнение стороны ВС, надо знать координату одной точки на ВС, например точки В или С, и вектор нормальный или направляющий. Мы можем найти нормальный вектор для ВС, это будет вектор АМ, т.к.  точка М  - точка пересечения высот.
Найдём координаты точки В как точку пересечения высоты ВН и стороны АВ:

$\left \{ {{x+y=4} \atop {x+2y=4}} \right. \; \ominus \left \{ {{x=4-y} \atop {-y=0}} \right. \; \left \{ {{x=4} \atop {y=0}} \right. \; \; B( 4; 0)$

$\overline {AM}=(0- \frac{4}{3};2- \frac{8}{3})=(-\frac{4}{3}; -\frac{2}{3} )\\\\BC:\; \; -\frac{4}{3}\cdot (x-4)- \frac{2}{3}\cdot (y-0)=0|\cdot (-3)\\\\4\cdot (x-4)+2y=0\\\\ 4x+2y-16=0|:2\\\\2x+y-8=0\\\\BC:\; \; \underline {y=-2x+8}$