Question

Исследовать функцию y=tg2пх. 1) область определения и область значения 2) периодичность 3) четность/нечетность 4) точки пересечения графика с осями функции 5) интервалы знака постоянства функции

Answer 1

$y=\mathrm{tg}2 \pi x$

1. Область определения функции. На аргумент тангенса накладываются ограничения:
$2 \pi x \neq \dfrac{ \pi }{2} + \pi n \\\ 2 x \neq \dfrac{1 }{2} + n \\\ x \neq \dfrac{1 }{4} + \dfrac{n}{2} , \ n\in Z$
Область значений функции: $x\in R$

2. Основной период функции $y=\mathrm{tg} x$ равен $\pi$. Основной период функции вида $y=\mathrm{tg}k x$ вычисляется по формуле $\dfrac{ \pi }{k}$.
Функция $y=\mathrm{tg}2 \pi x$ периодична, основной период равен $\dfrac{ \pi }{2 \pi } =\dfrac{ 1 }{2 }$

3. Исследование на четность/нечетность:
$y(-x)=\mathrm{tg}(2 \pi (-x))=-\mathrm{tg}2 \pi x=-y(x)$
Функция нечетная.

4. Пересечение с осью у:
$y(0)=\mathrm{tg}(2 \pi \cdot0)=\mathrm{tg}0=0$
 - точка (0; 0)
Пересечения с осью х:
$\mathrm{tg}2 \pi x=0 \\\ 2 \pi x= \pi n \\\ 2 x= n \\\ x= \dfrac{n}{2} , \ n\in Z$
 - точки вида (n/2; 0), где n - целое число

5. Интервалы знакопостоянства. Учитывая пункты 1 и 5 получаем:
$\mathrm{tg}2 \pi x\ \textgreater \ 0 \\\ x\in\left(\dfrac{n}{2} ;\dfrac{1 }{4} + \dfrac{n}{2} \right), \ n\in Z \\\ \mathrm{tg}2 \pi x\ \textless \ 0 \\\ x\in\left(-\dfrac{1 }{4} + \dfrac{n}{2};\dfrac{n}{2} \right), \ n\in Z$