Парабола: определение, свойства, построение
Параболой называется линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
y2=2px
при условии p>0.
Из уравнения (1) вытекает, что для всех точек параболы x≥0. Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.
Форма параболы известна из курса средней школы, где она встречается в качестве графика функции y=ax2. Отличие уравнений объясняется тем, что в канонической системе координат по сравнению с прежней оси координат поменялись местами, а коэффициенты связаны равенством 2p=a−1.
Фокусом параболы называется точка F с координатами (p/2,0) в канонической системе координат.
Директрисой параболы называется прямая с уравнением x=−p/2 в канонической системе координат
Утверждение.
Расстояние от точки M(x,y), лежащей на параболе, до фокуса равно
r=x+p2
Доказательство.
Вычислим квадрат расстояния от точки M(x,y) до фокуса по координатам этих точек: r2=(x−p/2)2+y2 и подставим сюда y2 из канонического уравнения параболы. Мы получаем
r2=(x−p2)2+2px=(x+p2)2.
Отсюда в силу x≥0 следует равенство
4xy+9y²=5
Суммируем эти уравнения:
x²+6xy+9y²=4
x²+2*x*3y+(3y)²=4
(x+3y)²=4
x+3y=2 3y=2-x y=(2-x)/3
x+3y=-2 3y=-2-x y=(-2-x)/3
x²+2x*(2-x)/3=-1 |×3
3x²+4x-2x²=-3
x²+4x+3=0 D=4
x₁=-1 ⇒ y₁=(2-(-1))/3=3/3 y₁=1
x₂=-3 ⇒ y₂=(2-(-3)/3= y₂=5/3
x²+2x*(-2-x)/3=-1 |×3
3x²-4x-2x²=-3
x²-4x+3=0 D=4
x₃=1 ⇒ y₃=(-2-1)/3 y₃=-1
x₄=3 ⇒ y₄=(-2-3)/3 y₄=-5/3.
ответ: x₁=-1 y₁=1 x₂=-3 y₂=5/3 x₃=1 y₃=-1 x₄=3 y₄=-5/3.