Question

Решите . под буквой "б" объясните а) 5cosx + 4/ 4tgx -3 =0 б) [-4п; -5п/2 ]

Answer 1

А)

$\displaystyle \frac{5\cos{x} +4}{4{\tt tg}\,x-3} =0\\ \\ \begin{Bmatrix}5\cos{x} +4=0\\ 4{\tt tg}\,x-3\ne 0\end{matrix} \quad \begin{Bmatrix}\cos{x} =\frac{-4}5 \\ {\tt tg}\,x\ne \frac34 \end{matrix}\\ \\ \begin{Bmatrix}x=\pm \arccos{\begin{pmatrix}\frac{-4}5 \end{pmatrix} } +2\pi n,n\in \mathbb{Z} \\ x\ne {\tt arctg}\, \begin{pmatrix}\frac34 \end{pmatrix} +\pi k,k\in \mathbb{Z}\end{matrix} \quad$

Если $\cos{x} =\frac{-4}5$ , то для х ∈ 3ч. :

$\sin{x} =-\sqrt{1-\begin{pmatrix}\frac{-4}5 \end{pmatrix} ^2 } =-\sqrt{\frac{25-16}{25} } =-\frac35 ;\\ {\tt tg}\, x=\frac{-3/5}{-4/5} =\frac34 .$

Значит на тригонометрической окружности точки $-\arccos{\begin{pmatrix}\frac{-4}5 \end{pmatrix} } +2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ и $\pi +{\tt arctg}\, \begin{pmatrix}\frac34 \end{pmatrix} +\pi k,k\in \mathbb{Z}$ совпадают, поэтому решением системы будет $x=\arccos{\begin{pmatrix}\frac{-4}5 \end{pmatrix} } +2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Б)

На промежутке [0;2π] корнем системы будет: $x=\arccos{\begin{pmatrix}\frac{-4}5 \end{pmatrix} }$

Значит на промежутке [-4π;-2π] корень будет: $x=-4\pi +\arccos{\begin{pmatrix}\frac{-4}5 \end{pmatrix} }$

Заданный в условии промежуток не ограничивает корень системы на промежутке [-4π;-2π].

ответ: А) $x=\arccos{\begin{pmatrix}\frac{-4}5 \end{pmatrix} } +2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Б) $x=-4\pi +\arccos{\begin{pmatrix}\frac{-4}5 \end{pmatrix} }$