Пусть cos x = t, |t| <=1 Тогда наше уравнение превращается в дробно-рациональное относительно t: 1/t^2 - 3/t + 2 = 0 Приводим всё к общему знаменателю: (1 - 3t + 2t^2)/t^2 = 0 Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда числитель равен 0, знаменатель при этом 0 не равен. Сначала находим нули числителя: 2t^2 - 3t + 1 = 0 D = 9 - 8 = 1 t1 = (3 - 1) / 4 = 1/2 t2 = (3+1)/4 = 1 Замечаем, что ни одно из этих чисел в 0 знаменатель не обращает. Значит, уравнение относительно t имеет два корня: 1 и 1/2 Вспоминаем, что t = cos x. Ни 1, ни 1/2 по модулю не превосходят 1, значит, получаем два уравнения, которые и решаем: cos x = 1/2 или cos x = 1 x = +-пи/3 + 2пиn x = 2пиk. Это и есть ответы. Разумеется, я всюду предполагаю, что n и k принадлежат множеству целых чисел.
1 + a + a^2 + ... + a^n = (1 - a^n)/(1 - a)
Пусть |a| < 1, тогда при n -> ∞ сумма -> 1/(1 - a)
1 + sin(30°) + sin^2(30°) + ... = 1/(1 - sin(30°)) = 1/(1 - 1/2) = 2
1 - cos(30°) + cos^2(30°) - ... = 1/(1 + cos(30°)) = 1/(1 + √3/2)) = (1 - √3/2)/(1 - 3/4) = 4 - 2√3