Question

Решите уравнение (1+cos2x)sin2x+2√3cos³x=0 и найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку []

Answer 1

Написала, решение в закреплении

Answer 2

Решаем уравнение:
$(1+cos2x)*sin2x+2\sqrt{3}cos^3x=0 \\(1+cos^2x-sin^2x)*sin2x+2\sqrt{3}cos^3x=0 \\2cos^2x*sin2x+2\sqrt{3}cos^3x=0 \\cos^2x*sin2x+\sqrt{3}*cos^3x=0 \\cos^2x(sin2x+\sqrt{3}*cosx)=0 \\cos^2x(2sinx*cosx+\sqrt{3}*cosx)=0 \\cos^3x(2sinx+\sqrt{3})=0 \\cos^3x=0 \\cosx=0 \\x_1= \frac{\pi}{2} +\pi n,\ n \in Z \\2sinx+\sqrt{3}=0 \\sinx=- \frac{\sqrt{3}}{2} \\x_2=- \frac{\pi}{3} +2\pi n,\ n \in Z \\x_3=- \frac{2\pi}{3} +2\pi n,\ n \in Z$
проводим отбор корней на промежутке $[ \frac{3\pi}{4}; 3 \pi ]$
решаем неравенства:
$\frac{3\pi}{4} \leq \frac{\pi}{2} +\pi n \leq 3\pi \\\frac{3}{4} \leq \frac{1}{2} +n \leq 3 \\1,5 \leq 1+2n \leq 6 \\0,5 \leq 2n \leq 5 \\0,25 \leq n \leq 2,5 \\n=1;\ 2 \\x_1= \frac{\pi}{2} +\pi= \frac{3\pi}{2} \\x_2=\frac{\pi}{2} +2\pi= \frac{5\pi}{2}$
$\frac{3\pi}{4} \leq - \frac{\pi}{3} +2\pi n \leq 3\pi \\\frac{3}{4} \leq - \frac{1}{3} +2n \leq 3 \\2,25 \leq 6n-1 \leq 9 \\3,25 \leq 6n \leq 10 \\ \frac{13}{24} \leq n \leq \frac{5}{3} \\n=1 \\x_3= \frac{-\pi}{3} +2\pi= \frac{5\pi}{3} \\\frac{3\pi}{4} \leq - \frac{2\pi}{3} +2\pi n \leq 3\pi \\\frac{3}{4} \leq - \frac{2}{3} +2n \leq 3 \\2,25 \leq 6n-2 \leq 9 \\4,25 \leq 6n \leq 11 \\ \frac{17}{24} \leq n \leq \frac{11}{6} \\n=1 \\x_4=- \frac{2\pi}{3} +2\pi= \frac{4\pi}{3}$
ответ:
$a) \\ x_1= \frac{\pi}{2} +\pi n,\ n \in Z \\ x_2=- \frac{\pi}{3} +2\pi n,\ n \in Z \\x_3=- \frac{2\pi}{3} +2\pi n,\ n \in Z \\b) \frac{3\pi}{2};\ \frac{5\pi}{2} ;\ \frac{5\pi}{3};\ \frac{4\pi}{3}$