докажем утверждение от противного.
можно предположить, что для любых двух разных точек a и b из s найдется отличная от них точка x из s такая, что либо xa < 0,999ab, либо xb < 0,999ab.
переформулируем утверждение: для любого отрезка i с концами в s и длиной l найдется отрезок i′ с концами в s длины не более 0,999l, один из концов которого совпадает с некоторым концом i.
или, иначе говоря, i′ пересекает i.
возьмем теперь первый отрезок i1 длины l и будем брать отрезки i2, i3, …так, что ik + 1 пересекается с ik и |ik + 1| < 0,999|ik|.
все эти отрезки имеют концы в s. ломаная не короче отрезка, соединяющего ее концы, поэтому расстояние от любого конца ik до любого конца i1 не превосходит
следовательно, в квадрате 2000l × 2000l с центром в любом из концов i1 лежит бесконечное число точек s.
но из условия следует конечность их числа в любом квадрате.
Sin(x-π/4) = +-√3/2
а)Sin(x-π/4) = √3/2
x -π/4= (-1)^n arcSin√3/2 + nπ, n ∈Z
x = π/4 +(-1)^nπ/3 + πn , n ∈Z
б) Sin(x-π/4) = -√3/2
x -π/4= (-1)^k arcSin(-√3/2 )+ kπ, k ∈Z
x = π/4 +(-1)^(k+1)π/3 + πk , k∈Z