Question

Решите 3 ! 7 класс! умножение ! 1)даны три последовательных натуральных числа. квадрат первого числа на 26 меньше произведения второго и третьего числа. найдите второе число. 2)ширина прямоугольника на 2 меньше его длины. если ширину увеличить на 3 см, а длину-на 4 см, то его площадь увеличится на 32 кв.см. найдите длину. 3)верно ли утверждение: произведение любых четырех последовательных натуральных чисел делиться на 8?

Answer 1

1. Примем за х среднее число (мы могли бы принять и первое число за х, но мой вариант изящнее и считать легче).
Итак, если среднее число принять за х, то первое число запишем как х - 1, а последнее как х + 1 (потому что соседние числа отличаются друг от друга на единицу). Учитывая, что квадрат первого числа на 26 меньше произведения второго и третьего числа, составим уравнение и решим его:

$(x-1)^2+26=x(x+1) \\ x^2-2x+1+26=x^2+x \\ x^2-2x+27-x^2-x=0 \\ -3x+27=0 \\ x=27 : 3 \\ x=9$

Следовательно, искомые числа таковы: 8, 9 и 10.
Произведем проверку:
8² + 26 = 9*10
64 + 26 = 90
90 = 90

ответ: 8, 9, 10.

2. Пусть ширина прямоугольника будет х, тогда его длина будет х + 2; соответственно, площадь будет равна х (х + 2) = х² + 2х. Ширину увеличили на 3 см, т.е. она стала равна х + 3, а длину на 4 см, т.е. стала х + 2 + 4 = х + 6. Учитывая, что площадь увеличилась на 32 см², составим уравнение и решим его:

(х + 3)(х + 6) = х² + 2х + 32
х² + 3х + 6х + 18 = х² + 2х + 32
х² + 9х - х² - 2х = 32 -18
7х = 14
х = 2 (см) - ширина. Значит, длина равна 2 + 2 = 4 (см).

Проверка:
площадь равна 2*4 = 8 (см²).
Если увеличить так, как в условии, то ширина будет равна 5 см, а длина 8 см, т.е. площадь станет равна 5*8 = 40 (см²), что действительно больше изначальной площади на 32 см².

ответ: длина прямоугольника равна 4 см.

3. Ну, это легко доказать опираясь на свойства делимости чисел: если одна число делится на а, а другое на b, то их произведение делится на произведение чисел а и b. И оно не перестанет делиться на ab, если его умножить на еще какое-нибудь число или на несколько чисел (речь идет о натуральных числах). Из четырех последовательных чисел два будут четными, причем одно из этих четных будет делиться на 4. А если одно число делится на 2, а другое на 4, то их произведение делится на 8.