Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами АВ=42 и ВС=56. Пусть окружность с центром O проходит через точку В. Обозначим радиус этой окружности как r.
Мы знаем, что окружность пересекает сторону АВ в точке Р, сторону ВС в точке Q, а сторону АС в точках K и L.
Так как точка P находится на стороне АВ, она должна быть на окружности с центром O и радиусом r. Аналогично, точка Q должна быть на окружности с центром O и радиусом r.
Введем новую обозначение. Обозначим точку OQ - F. Точки F, K и L принадлежат этой окружности.
Также известно, что PK=KQ, что означает, что сегменты PF и FQ равны. Но радиус окружности одинаковый, поэтому PF = FQ = r.
Соотношение QL:PL=3:4 означает, что отношение длин отрезков QL и PL равно 3:4.
Поймем, что в треугольнике PQL, отношение длины высоты треугольника из точки L к основанию (QL к PL) равно 3:4. Пусть высота треугольника из точки L равна h, тогда высота треугольника из точки P равна 4/3 * h.
Так как сегмент QL равен r и сегмент PL равен r + h, тогда с помощью теоремы Пифагора мы можем записать следующее:
r^2 + (4/3 * h)^2 = (r + h)^2.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
r^2 + 16/9 * h^2 = r^2 + 2rh + h^2.
Упростим:
16/9 * h^2 = 2rh + h^2.
Умножим обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от дробей:
16h^2 = 18rh + 9h^2.
Перенесем все слагаемые на одну сторону и сгруппируем их:
16h^2 - 9h^2 = 18rh.
7h^2 = 18rh.
Разделим обе части уравнения на 7h:
h = 18r / 7.
Теперь найдем отношение PQ к h. Заметим, что треугольник PFQ является прямоугольным, поэтому мы можем применить теорему Пифагора еще раз:
PQ^2 = PF^2 + FQ^2.
Подставим значения PF и FQ:
PQ^2 = r^2 + r^2.
PQ^2 = 2r^2.
Теперь мы знаем, что h = 18r / 7, подставим это значение в выражение для PQ^2:
PQ^2 = 2r^2 = 2 * (18r / 7)^2.
Упростим это выражение:
PQ^2 = 2 * (324r^2 / 49) = (648r^2 / 49).
Итак, мы получили выражение для PQ^2 в терминах радиуса окружности r. Однако нам не дано значение r, поэтому мы не можем найти точное значение PQ^2 безусловно. Но, если нам будет дано значение r, мы сможем подставить его в это выражение и найти точное значение PQ^2.
Таким образом, ответ на вопрос "Найдите PQ^2" будет иметь вид (648r^2 / 49), где r - радиус окружности.
Наименование веществ, смесей % содержание (доля) вещества Масса раствора (кг) Масса вещества (кг) I раствор 40 % = 0,4 х 0,4х II раствор 15 % = 0,15 у 0,15у Вода - 3 - Смесь I 20 % = 0,2 х + у +3 0,2(х + у +3)
Получаем уравнение:0,4х + 0,15у = 0,2(х + у +3) Выполним вторую операцию:
I раствор 40 % = 0,4 х 0,4х II раствор 15 % = 0,15 у 0,15у Кислота 80 % = 0,8 3 0,8·3 Смесь II 50 % = 0,5 х + у +3 0,5(х + у +3)
Итак, 0,4х + 0,15у + 0,8·3 = 0,5(х + у +3). Для решения задачи получаем систему уравнений:
{6(x-4)>x-5(x+4)
{2(x+3)(x-2)>0
{6x-24>x-5x-20
{(x+3)(x-2)>0
{x>0.4
{x∈(-∞;-3)U(2;+∞)
{x∈(0.4;+∞)
ответ x∈(2;+∞)