Question

Решить иррациональное уравнение: √8х+1 + √3х-5 = √7х+4 + √2х-2 выражение √8х+1 и другие находятся под корнем

Answer 1

√(8х+1) + √(3х-5) = √(7х+4) + √(2х-2)
Найдем ОДЗ и немного корни поменяем местами , заметив что 8x+1 + 2x-2 = 3x-5 + 7x+4 = 10x-1
8x+1>=0   x>=-1/8
3x-5>=0    x>=5/3
7x+4>=0   x>=-4/7
2x-2>=0    x>=1
ОДЗ x>=5/3
√(8х+1) + √(3х-5) = √(7х+4) + √(2х-2)
√(8х+1) - √(2х-2)  = √(7х+4) - √(3х-5) возводим в квадрат, но если попадет в ОДЗ то надо проверить, так как выражения справа и слева могут быть отрицательны
(8x+1) - 2 √(8х+1)(2х-2) + (2x-2) =  (7х+4) -  2√(7х+4)(3х-5) +(3х-5)
10x - 1 - 2 √(8х+1)(2х-2) = 10x-1 - 2 √(7х+4)(3х-5)
√(8х+1)(2х-2) = √(7х+4)(3х-5)
cнова возвлдим в квадрат и перемножаем члены
16x^2 - 16x + 2x - 2 = 21x^2 - 35x + 12x - 20
16x^2 - 14x - 2 = 21x^2 - 23x - 20
5x^2 - 9x - 18 =0 
D=81+4*5*18=441=21^2
x12=(9+-21)/10 = -6/5  3
-6/5 не входит в ОДЗ
3 входит и проверим его (ну можно и не проверять)
√(8*2+1) + √(3*3-5) = √(7*3+4) + √(2*3-2)
√25 + √4 = √25 + √4
5 + 2 = 5 + 2
7=7
ответ х=3

Answer 2

$\mathtt{\sqrt{8x+1}+\sqrt{3x-5}=\sqrt{7x+4}+\sqrt{2x-2}}$

ОДЗ (решение которого приведено ниже): $\mathtt{x\geq\frac{5}{3}}$

$\displaystyle\mathtt{\left\{{{\left\{{{8x+1\geq0}\atop{3x-5\geq0}}\right}\atop{\left\{{{7x+4\geq0}\atop{2x-2\geq0}}\right}}\right\left\{{{3x-5\geq0}\atop{2x-2\geq0}}\right\left\{{{x\geq\frac{5}{3}}\atop{x\geq\frac{3}{3}}}\right}$

попробуем махнуть местами 2 корня: $\mathtt{\sqrt{8x+1}-\sqrt{7x+4}=\sqrt{2x-2}-\sqrt{3x-5}}$

данная ситуация имеет место быть тогда и только тогда, когда обе части равны нулю, следовательно, $\displaystyle\mathtt{\left\{{{\sqrt{8x+1}-\sqrt{7x+4}=0}\atop{\sqrt{2x-2}-\sqrt{3x-5}=0}}\right}$

применяя рационализацию на области допустимых значений, получаем: 

$\displaystyle\mathtt{\left\{{{8x+1-(7x+4)=0}\atop{2x-2-(3x-5)=0}}\right\left\{{{8x+1=7x+4}\atop{2x-2=3x-5}}\right\left\{{{x=3}\atop{x=3}}\right}$

оба уравнения системы выполнены одновременно, найденный корень удовлетворяет ОДЗ, а это значит то, что пришло время писать ответ: $\mathtt{x=3}$