Question

Найдите наименьшее значение функции =10х-10in(x+3)+24 на отрезке [-2.5; 0]

Answer 1

Для нахождения наименьшего значения функции произведем следующие шаги:

1. Определение интервалов, на которых функция может достигнуть экстремума. Для этого найдем значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Для заданной функции, применим метод дифференцирования:

f(x) = 10x - 10ln(x+3) + 24

Применим правило дифференцирования логарифмической функции и получим:

f'(x) = 10 - 10/(x+3)

Приравняем производную к нулю и найдем значения x:

10 - 10/(x+3) = 0

10(x+3) - 10 = 0

10x + 30 - 10 = 0

10x + 20 = 0

10x = -20

x = -2

Таким образом, получили, что производная равна нулю при x = -2. Значит, наша функция может достигать экстремума в точке x = -2.

2. Далее необходимо проверить значения функции на концах отрезка [-2.5; 0]. Подставим эти значения в функцию и найдем результат:

f(0) = 10*0 - 10ln(0+3) + 24
= 0 - 10ln(3) + 24
≈ 0 - 10*1.099 + 24
≈ 0 - 10.99 + 24
≈ -10.99 + 24
≈ 13.01

f(-2.5) = 10*(-2.5) - 10ln(-2.5+3) + 24
= -25 - 10ln(0.5) + 24
≈ -25 - 10*(-0.693) + 24
≈ -25 + 6.93 + 24
≈ -18.07 + 24
≈ 5.93

3. Таким образом, нам необходимо сравнить значения функции f(x) при x = -2, x = -2.5 и x = 0. Наименьшее из них будет наименьшим значением функции на отрезке [-2.5; 0].

Окончательно, наименьшее значение функции f(x) = 10x - 10ln(x+3) + 24 на отрезке [-2.5; 0] будет при x = -2.5 и равно 5.93.