Дано: sinx-siny=m; cosx+cosy=n. Найти: sin(x-y) и cos(x-y). Решение: 1. Воспользуемся формулами разность синусов и сумма косинусов: Заметим, что оба равенства содержат один и тот же член: . Выразим его из обоих равенств: В получившихся равенствах левые части равны, значит, равны и правые части: . Преобразуем данное равенство: Теперь используем формулы понижения степени синуса и косинуса: Преобразуем данное равенство: n²(1-cos(x-y))=m²(1+cos(x-y)); n²-n²cos(x-y)=m²+m²cos(x-y); m²cos(x-y)+n²cos(x-y)=n²-m²; cos(x-y)(m²+n²)=n²-m²; Используя основное тригонометрическое тождество, выразим sin(x-y): ответ:
Рассуждаем следующим образом. Чтобы А³ была нулевой матрицей, но чтобы при этом матрица А² не была нулевой, нужно чтобы в матрице А² все элементы кроме одного были равны нулю. Тогда в матрице А должны быть все элементы кроме двух равны нулю. Таким условиям отвечает, матрица, в которой, например два элемента находящихся на линии, параллельной главной диагонали, равны 1, а все остальные элементы матрицы равны нулю: Или: Тогда при возведении первой матрицы в квадрат получим матрицу: А при возведении второй матрицы в квадрат получим: А возведя в третью степень обе матрицы, получим нулевые матрицы. ответ: или
. Выразим его из обоих равенств:
.
![\left[\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right]](/tpl/images/0459/8733/0ef41.png)
![\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\end{array}\right]](/tpl/images/0459/8733/bed8c.png)
![\left[\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right]](/tpl/images/0459/8733/dec6f.png)
![\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{array}\right]](/tpl/images/0459/8733/14fe4.png)
![\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\end{array}\right]](/tpl/images/0459/8733/f3b18.png)
(3x - 8)² ≥ (8x - 3)²
(3x - 8)² - (8x - 3)² ≥ 0
По формуле разности квадратов a²-b²=(a-b)(a+b)
(3x - 8 - 8x + 3)(3x - 8 + 8x - 3) ≥ 0
(-5x - 5)(11x - 11) ≥ 0
Метод интервалов
-5x - 5 = 0; x₁ = -1; 11x - 11 = 0; x₂ = 1
[-1] [1] > x
ответ : x ∈ [-1; 1]